✔ Aplikasi Turunan Fungsi (*Soal Bse Matematika Sma Kelas 2 Ipa)

Kita sanggup pertanyaan dari sahabat grup sebelah, mumpung lagi ada waktu luang kita bahas yuk Mat, kata Tika yang dari tadi asyik senyum-senyum sendiri melihat telepon pintarnya.

Tentang apa soalnya Tika, apakah kau yakin kita bisa selesaikan soalnya, balas Mat.

Ini soalnya ada beberapa Mat tampaknya ihwal Aplikasi Turunan Fungsi, saya yakin kau bisa koq,. Kita bahas satu persatu aja iya Mat...

Soal Pertama:

Menurut Departemen Riset sebuah perusahaan, biaya produksi $x$ unit barang jenis A sebesar $2x^{3}-4.000x^{2}+6.000.000x$ rupiah per hari. Jika barang diproduksi, tentukan jumlah unit per hari yang harus diproduksi biar biaya produksi per unitnya minimum.

Alternatif Pembahasan: show

Dari soal kita ketahui bahwa setiap harinya biaya produksi $x$ unit yaitu $2x^{3}-4.000x^{2}+6.000.000x$.
Makara untuk setiap hari, pembuatan $x$ unit barang jenis A dibutuhkan biaya sebesar $2x^{3}-4.000x^{2}+6.000.000x$,
Misal:
Untuk $1$ unit total biayanya yaitu $2(1)^{3}-4.000(1)^{2}+6.000.000(1)=5.996.002$ dan biaya per unitnya $5.996.002$
Untuk $2$ unit total biayanya yaitu $2(2)^{3}-4.000(2)^{2}+6.000.000(2)=11.984.016$ dan biaya per unitnya $5.992.008$
Untuk $3$ unit biayanya yaitu $2(3)^{3}-4.000(3)^{2}+6.000.000(3)=17.964.054$ dan biaya per unitnya $5.988.018$
dan seterusnya...
Jika unit diproduksi semakin banyak tampaknya biaya semakin besar tetapi biaya per unitnya semakin murah. Untuk itulah kita diminta coba hitung berapa unit yang akan di produksi biar biaya minimum.

Biaya pembuatan $x$ unit barang jenis A dibutuhkan biaya sebesar $2x^{3}-4.000x^{2}+6.000.000x$. Jika fungsi biaya pembuatan $1$ unit barang jenis A kita misalkan dengan $B$, maka biaya untuk pembuatan $1$ unit yaitu $B=\frac{2x^{3}-4.000x^{2}+6.000.000x}{x}=2x^{2}-4.000x+6.000.000$

Dari fungsi biaya produksi $1$ unit $B=2x^{2}-4.000x+6.000.000$. Untuk menghitung nilai $B$ kapan minimum, kita coba dengan menggunakan turunan pertama yaitu ketika $B'=0$.
$B=2x^{2}-4.000x+6.000.000$
$B'=4x-4.000$
ketika $B'=0$ maka kita peroleh
$4x-4.000=0$
$4x=4.000$
$x=\frac{4000}{4}=1.000$
Makara biar biaya pembuatan 1 unit barang jenis A minimum baiknya diproduksi $1.000$ unit setiap hari.

Soal Kedua:

Dari selembar seng berbentuk persegipanjang, akan dibentuk talang air. Kedua tepinya dilipat selebar $x$, menyerupai pada gambar berikut.

Jika lebar seng tersebut $40\ cm$, tunjukkan bahwa:
(a). luas penampang talang yaitu $L (x) = 40x – 2x^{2}$;
(b). tentukan ukuran penampang $L(x) = 40x – 2x^{2}$.

Alternatif Pembahasan: show

Talang seng umumnya berfungsi untuk mengkontrol anutan air hujan pada ruma, sehingga talang seng berada diatas sempurna dibawah dan diujung atap rumah. Jika belum bisa membayangkan talang seng itu atau belum mengenal talang seng, coba di search pada google image dengan kata kunci "talang seng". Mungkin dengan melihat gambar yang lebih konkret proses perhitungan lebih gampang dipahami.

Lebar seng $40\ cm$ kemudian pada kedua sisi seng dilipat selebar $x$ sehingga lebar penampang seng kini yaitu $40-2x$, dan tinggi talang yaitu $x$.

Yang dimaksud dengan luas penampang talang $(L)$ yaitu luas lantai talang (*pada gambar diatas yang biru) dikalikan tinggi talang (*pada gambar merah).
$L=(40-2x)(x)=40x – 2x^{2}$.
Untuk pertanyaan yang (a) tampaknya sudah terbukti, tetapi untuk pertanyaan (b) tampaknya masih ada yang kurang kalimatnya, seharusnya tentukan ukuran penampang talang biar luas penampang talang maksimum.

Dari fungsi $L(x) = 40x – 2x^{2}$. Untuk menghitung nilai $L$ kapan maksimum, kita coba dengan menggunakan turunan pertama yaitu ketika $L'=0$.
$L(x) = 40x – 2x^{2}$
$L'(x)=40-4x$
ketika $L(x)'=0$ maka kita peroleh
$40-4x=0$
$4x=40$
$x=\frac{40}{4}=10$
Makara biar luas penampang maksimum pada tepinya dilipat selebar $10$, sehingga lebar lantai talang $20\ cm$ dan tinggi talang $10\ cm$.

Soal Ketiga:

Luas sebuah juring bulat yang berjari-jari $r$ yaitu $4\ cm^{2}$.
(a). Tunjukkan bahwa kelilingnya yaitu $K(r)\ cm$ dengan $K(r) = 2 \left( r+\frac{4}{r} \right)$.
(b). Tentukan nilai minimum $K$.

Alternatif Pembahasan: show

Pada soal diketahui bahwa Luas Juring yaitu $L_{J}=4\ cm^{2}$ dengan jari-jari $r$, menurut gosip ini bisa kita simpulkan bahwa:
$L_{J}=4\ cm^{2}$
$L_{J}=\frac{\theta }{2 \pi} \times L_{\odot}$
$4=\frac{\theta }{2 \pi} \times \pi r^{2}$
$\frac{\theta }{2 \pi}=\frac{4}{\pi r^{2}}$

Keliling Juring sanggup kita hitung dengan aturan
$K_{J}=\frac{\theta }{2 \pi} \times K_{\odot}+2r$
$K_{J}=\frac{4}{\pi r^{2}} \times 2 \pi r+2r$
$K_{J}=\frac{8 \pi r}{\pi r^{2}}+2r$
$K_{J}=\frac{8}{r}+2r$
$K_{J}=\frac{8}{r}+2r$
$K_{J}= 2 \left( r+\frac{4}{r} \right)$

Untuk belahan (a) sudah terbukti, untuk belahan (b) nilai minimum $K$ kita coba menggunakan turunan pertama yaitu menggunakan $K'=0$.
$K_{J}=\frac{8}{r}+2r$
$K_{J}= 8r^{-1}+2r$
$K'_{J}= -8r^{-2}+2$
$K'_{J}=-\frac{8}{r^{2}}+2$
Untuk $K'_{J}=0$, maka
$-\frac{8}{r^{2}}+2=0$
$-8+2r^{2}=0$
$r^{2}-4=0$
$(r-2)(r+2)=0$
$r=2$ atau $r=-2$
Nilai $r$ yang memenuhi yaitu $r=2$ sebab $r$ yaitu sebuah panjang jari-jari.

Keliling minimum $K$ yaitu ketika $r=2$
$K(2) = 2 \left( 2+\frac{4}{2} \right)$
$K(2) = 2 \left( 2+2 \right)$
$K(2) = 8$

Soal Keempat:

Suatu perusahaan menciptakan kaleng berbentuk tabung tertutup dengan volume $V$. Upah buruh $(c)$ berbanding pribadi dengan panjang belahan yang dipatri, yaitu jumlah tinggi kaleng dengan dua kali keliling ganjal kaleng.
(a). Jika tinggi kaleng $t$ dan jari-jari ganjal $r$, buktikan bahwa $c = k \left( \frac{V}{\pi r^{2}}+4 \pi r \right)$
dengan $k = \text{konstanta}$.
(b). Buktikan bahwa upah buruh $(c)$ paling murah bila tinggi kaleng sama dengan keliling alasnya.

Alternatif Pembahasan: show

Upah buruh yaitu dari berapa banyak tabung yang final dikerjakan $(k)$. Untuk setiap tabung buruh harus mempatri sebanyak tiga kali yaitu keliling bulat sebanyak 2 kali dan satu kali tinggi tabung.

Upah buruh $(c)$, sanggup kita hitung menjadi dalam persamaan;
$c=k(t+2(2 K_{\odot})$
$c=k(t+2(2 \pi r)$
$c=k(t+4 \pi r)$
dimana kita ketahui bahwa $V=\pi r^{2} \times t$
$c=k \left( \frac{V}{\pi r^{2}}+4 \pi r \right)$

Untuk belahan (a) sudah terbukti, untuk belahan (b) upah buruh $(c)$ paling murah bila tinggi kaleng sama dengan keliling alasnya.

Soal Kelima:

Rata-rata pertumbuhan suatu basil sesudah $t$ menit diberikan oleh persamaan $N(t) = 1000 + 30t^{2} – t^{3}$, $0 \leq t \leq 20$
Tentukan kapan pertumbuhan basil tersebut
(a). menurun,
(b). meningkat, dan
(c). mencapai maksimum.

Alternatif Pembahasan: show

Untuk melihat kapan pertumbuhan basil menurun, meningkat dan maksimum pada ketika $0 \leq t \leq 20$ sanggup kita hitung dengan menggunakan turunan pertama $N'(t)$.
$N(t) = 1000 + 30t^{2} – t^{3}$
$N'(t) = 60t – 3t^{2}$

(a) Bakteri menurun saat
$N'(t) < 0 \\
60t – 3t^{2} < 0 \\
3t^{2}-60t\ > 0 \\
t(3t-60)\ > 0 \\
t < 0\ \text{atau}\ t < 20$

(b) Bakteri meningkat ketika
$N'(t) > 0 \\
60t – 3t^{2} > 0 \\
3t^{2}-60t < 0 \\
t(3t-60) < 0 \\
0 < t < 20$

Jika masih kesulitan menuntaskan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat

(c) Bakteri mencapai masksimum ketika $t=20$ sebab $N"(t)=60-6t$ bernilai negatif ketika $t=20$.
Atau bisa dengan membandingkan nilai $N(t)$ ketika $t=0$ dan $t=20$, maka akan diperoleh masksimum ketika $t=20$.

Soal Keenam:

Setelah satu jam $x$ miligram obat tertentu diberikan kepada seseorang, perubahan temperatur (dinyatakan dalam Fahrenheit) dalam tubuhnya diberikan oleh persamaan $T(x) = x^{2} \left(1- \frac{x}{9} \right)$, $0 \leq t \leq 6$
Rata-rata perubahan $T(x)$ bersesuaian dengan ukuran takaran $x$. $T(x)$ disebut sensitivitas badan terhadap takaran obat.
a. Kapan sensitivitas badan meningkat?
b. Kapan sensitivitas badan menurun?
c. Berapakah nilai maksimum sensitivitas tubuh?

Alternatif Pembahasan: show

Untuk melihat sensitivitas badan menurun, meningkat dan maksimum pada ketika $0 \leq t \leq 6$ sanggup kita hitung dengan menggunakan turunan pertama $T'(x)$.
$T(x) = x^{2} \left(1- \frac{x}{9} \right)$
$T(x) = x^{2}- \frac{1}{9}x^{3}$
$T'(x) = 2x- \frac{1}{3}x^{2}$

(a) sensitivitas badan meningkat ketika
$T'(x) > 0 \\
2x- \frac{1}{3}x^{2} > 0 \\
\frac{1}{3}x^{2}-2x < 0 \\
x(\frac{1}{3}x-2) < 0 \\
0 < x < 6$

Jika masih kesulitan menuntaskan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat

(b) sensitivitas badan meningkat ketika
$T'(x) < 0 \\
2x- \frac{1}{3}x^{2} < 0 \\
\frac{1}{3}x^{2}-2x\ > 0 \\
x(\frac{1}{3}x-2)\ > 0 \\
x < 0\ \text{atau}\ x > 6$

(c) sensitivitas badan maksimum ketika $x=6$ sebab $T"(x)=2- \frac{2}{3}x$ bernilai negatif ketika $x=6$.
Atau bisa dengan membandingkan nilai $T(x)$ ketika $x=0$ dan $t=6$, maka akan diperoleh masksimum ketika $x=6$

Sudah Mat, soalnya sudah habis... Untuk soal keempat belahan (b) besok kita diskusikan lagi, tampaknya kita masih kesulitan bagaimana membuktikannya.

Oh iya Mat soal ini ternya diambil dari Buku Sekolah Elektronik (BSE) yang sempat menjadi jadwal andalan pemerintah dalam memajukan pendidikan di Indonesia. Untuk teman-teman yang mau melihat pribadi soal pada bukunya silahkan download saja BSE Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika Sekolah Menengan Atas Kelas 2 IPA yang ditulis oleh Wahyudin Djumanta dan rekan.

Hari ini kami diskusinya berdua dan biasanya diskusinya bertiga bersama Ema,.. nah siapa tahu Tika dan Mat ada kesalahan dalam perhitungan diatas tidak usah sungkan iya untuk mengkreksi. Sampai jumpa, jangan lupa juga lihat diskusi kami yang lainnya dan Semoga Bermanfaat.

Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Masih menganggap matematika hanya hitung-hitungan semata, mari kita lihat kreativitas siswa ini;

Bagikan Artikel ini