✔ Bank Soal Dan Pembahasan Matematika Dasar Suku Banyak (Polinomial)
Catatan calon guru yang kita diskusikan ketika ini akan membahas ihwal Matematika Dasar Suku Banyak Atau Polinomial. Sebelumnya kita sudah mengenal istilah dalam matematika yaitu matematika dasar persamaan kuadrat, alasannya yaitu persamaan kuadrat yaitu bab dari suku banyak, jadi ketika kita mencar ilmu persamaan kuadrat, kita sudah mencar ilmu ihwal suku banyak.
Mempelajari dan memakai aturan-aturan pada suku banyak juga sangatlah mudah, jikalau Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan dibawah ini, maka anda akan dengan gampang memahami soal-soal suku banyak dan menemukan solusinya.
Dalam matematika, polinomial atau suku banyak (juga ditulis sukubanyak) yaitu pernyataan matematika yang melibatkan jumlahan perkalian pangkat dalam satu atau lebih variabel dengan koefisien.
Suku banyak (polinomial) dalam $x$ berderajat $n$ adalah:
$f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots+a_{n}x^{n}$
dimana:
- $n$ yaitu bilangan cacah dan $a\neq 0$
- $a_{n},\ a_{n-1},\ a_{n-2},\ \cdots, a_{0}$ konstanta dan merupakan koefisien dari $x^{n}, x^{n-1}, \cdots, x^{0}$
- Derajat suatu suku banyak dalam $x$ dinyatakan oleh pangkat tertinggi ($n$) dalam suku banyak tersebut.
Nilai Suku Banyak
Nilai suku banyak $f(x)$ berderajat $n$ pada ketika $x=k$ yaitu $f(k)$Kesamaan Suku Banyak
Suku banyak $f(x)$ dan $g(x)$ dikatakan sama ketika derajat dan koefisian variabel-variabel yang berpangkat sama besarnya yaitu sama.Pembagian Suku Banyak
Pembagian suku banyak sanggup dilakukan dengan dua cara yaitu dengan bersusun kebawah dan cara horner. Untuk cara pembagian suku banyak ini kita diksusikan pada diskusi tersendiri, jadi ketika ini pembagian suku banyak sudah kita anggap bisa.Teorema Sisa
- Jika suatu fungsi suku banyak $f(x)$ dibagi oleh faktor linear berbentuk $(x-a)$, sisanya yaitu $s=f(a)$.
- Jika suatu fungsi suku banyak $f(x)$ dibagi oleh faktor linear berbentuk $(ax-b)$, sisanya yaitu $s=f \left(\dfrac{b}{a} \right)$.
Teorema Faktor
- Jika suatu fungsi suku banyak $f(x)$ mempunyai faktor $(x-a)$, maka $f(a)=0$.
- Jika suatu fungsi suku banyak $f(x)$ mempunyai faktor $(ax-b)$, $f \left(\dfrac{b}{a} \right)=0$.
Secara umum bentuk suku banyak suatu $f(x)$ jikalau dibagi $P(x)$ dan hasil bagi $H(x)$ dan sisa $S(x)$ sanggup dituliskan: $f(x)=P(x) \cdot H(x) + S(x)$
- Jika $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)+f(a)$
- Jika $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n$
Teorema Vieta - Hasil Jumlah dan Hasil Kali akar-akar Suku Banyak
(*François Viète yaitu pakar matematika masa ke-16 kebangsaan Perancis). Persamaan suku banyak yang mempunyai akar-akar real paling banyak $n$ buah. Jika $x_{1},x_{2},x_{3}, \dots x_{n}$ yaitu akar-akar dari persamaan tersebut, maka korelasi antara akar-akarnya ini yaitu sebagai berikut.- $f(x)=ax^{2}+bx+c$, akar-akarnya $x_{1}$ dan $x_{2}$
- $x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}$
- $x_{1} \cdot x_{2}= \dfrac{c}{a}$
- $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$, akar-akarnya $x_{1}$, $x_{2}$ dan $x_{3}$
- $x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\dfrac{b}{a}$
- $x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} \cdot x_{3}+ x_{2}\cdot x_{3} = \dfrac{c}{a}$
- $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} = -\dfrac{d}{a}$
- $f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$, akar-akarnya $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$ dan $x_{4}$
- $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} =-\dfrac{b}{a}$
- $x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} \cdot x_{3}+\cdots+ x_{3}\cdot x_{4} = \dfrac{c}{a}$
- $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3}+ x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{4}+\cdots+ x_{2} \cdot x_{3}\cdot x_{4} = -\dfrac{d}{a}$
- $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdot x_{4} = \dfrac{e}{a}$
1. Soal SBMPTN 2015 (*Soal Lengkap)
Sisa pembagian $x^{2014}-Ax^{2015}+Bx^{3}-1$ oleh $x^{2}-1$ yaitu $–x+B$. Nilai $2A+B$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 5
\end{align}$
Untuk menuntaskan soal diatas, kita coba mengingatkan kembali ihwal teorema sisa, yaitu:
Untuk
$F(x)=H(x)\cdot P(x)+Sisa$
$F(x)=H(x)\cdot (x-a)(x-b)+mx+n$
maka
$F(a)=am+n$
$F(b)=bm+n$
Pada soal disampaikan bahwa $x^{2014}-Ax^{2015}+Bx^{3}-1$ dibagi oleh $x^{2}-1$ sisanya $-x+B$.
$\begin{align}
x^{2014}-Ax^{2015}+Bx^{3}-1 & = \left (x^{2}-1 \right )\cdot H(x)+sisa \\
& = \left (x-1 \right )\left (x+1 \right )\cdot H(x)-x+B \\
& = \left (x-1 \right )\left (x+1 \right )\cdot H(x)-x+B
\end{align}$
Untuk $x=1$
$\begin{align}
1^{2014}-A(1)^{2015}+B(1)^{3}-1 & = -1+B \\
1-A+B-1 & = -1+B \\
-A+B & = -1+B \\
A & = 1
\end{align}$
Untuk $x=-1$
$\begin{align}
(-1)^{2014}-A(-1)^{2015}+B(-1)^{3}-1 & = -(-1)+B \\
-1+A-B-1 & = 1+B \\
A-B & = 1+B \\
1-B & = 1+B \\
B & = 0
\end{align}$
Nilai $2A+B=2(1)+0=2$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 2$
2. Soal UM UNDIP 2015 (*Soal Lengkap)
Jika suku banyak $f(x)$ dibagi dengan $(x-a)(x-b)$ dengan $a \neq b$, maka sisa pembagian ini adalah...
$(A)$ $\dfrac{x+a}{a-b}f\left ( a \right )+\dfrac{x+b}{b-a}f\left ( b \right )$
$(B)$ $\dfrac{x-a}{a-b}f\left ( b \right )+\dfrac{x-b}{b-a}f\left ( a \right )$
$(C)$ $\dfrac{x+a}{a-b}f\left ( b \right )+\dfrac{x+b}{b-a}f\left ( a \right )$
$(D)$ $\dfrac{x-b}{a-b}f\left ( a \right )+\dfrac{x-a}{b-a}f\left ( b \right )$
$(E)$ $\dfrac{x-b}{a-b}f\left ( b \right )+\dfrac{x-a}{b-a}f\left ( a \right )$
Untuk menuntaskan soal diatas, kita coba memakai teoerma sisa, yaitu:
Untuk
$f(x)=h(x)\cdot (x-a)(x-b)+mx+n$
maka
$f(a)=am+n\ \cdots \text{pers.1}$
$f(b)=bm+n\ \cdots \text{pers.2}$
Dari kedua persamaan di atas sanggup kita tentukan nilai $m$ dan $n$ yaitu sebagai berikut:
#menentukan nilai $m$
$\begin{array}{c|c|cc}
f(a) = am+n & \\
f(b) = bm+n & (-)\\
\hline
f(a) -f(b) = am-bm & \\
f(a) -f(b) = (a -b)m & \\
\dfrac{f(a) -f(b)}{a-b} = m
\end{array} $
#menentukan nilai $n$
$\begin{array}{c|c|cc}
f(a) = am+n & \times b\\
f(b) = bm+n & \times a\\
\hline
b \cdot f(a) = abm+bn & \\
a \cdot f(b) = abm+an & (-) \\
\hline
b \cdot f(a)-a \cdot f(b) = bn-an &\\
b \cdot f(a)-a \cdot f(b) = (b -a ) n &\\
\dfrac{b \cdot f(a)-a \cdot f(b)}{b-a} = n
\end{array} $
Sisa Pembagian yaitu $mx+n$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
mx+n &= \dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}x+\dfrac{b \cdot f(a)-a \cdot f(b)}{b-a} \\
& =\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}x+\dfrac{a \cdot f(b)-b \cdot f(a)}{a-b} \\
& =\dfrac{x \cdot f(a)-x \cdot f(b)+a \cdot f(b)-b \cdot f(a)}{a-b} \\
& =\dfrac{x \cdot f(a)-b \cdot f(a)-x \cdot f(b)+a \cdot f(b)}{a-b} \\
& =\dfrac{x-b}{a-b}f(a)+\dfrac{a-x}{a-b}f(b) \\
& =\dfrac{x-b}{a-b}f(a)+\dfrac{x-a}{b-a}f(b) \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{x-b}{a-b}f\left ( a \right )+\dfrac{x-a}{b-a}f\left ( b \right )$
3. Soal SBMPTN 2014 (*Soal Lengkap)
Diketahui $P(x)$ suatu polinomial. Jika $P(x+1)$ dan $P(x-1)$ masing-masing menunjukkan sisa $2$ apabila masing-masing dibagi $x-1$,
maka $P(x)$ dibagi $x^{2}-2x$ menunjukkan sisa...
$\begin{align}
(A)\ & x+2 \\
(B)\ & 2x \\
(C)\ & x \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
$P(x)=H(x)\cdot (x-a)(x-b)+mx+n$
Untuk $x=0$
$P(x)=H(x)\cdot x(x-2)+mx+n$
maka $P(0)=n$
Untuk $x=2$
$P(x)=H(x)\cdot x(x-2)+mx+n$
$P(2)=2m+n$
Pada soal diketahui $P(x+1)=2$ dan $P(x-1)=2$ maka untuk $x=1$ diperoleh $P(2)=2$ dan $P(0)=2$.
$P(0)=2$ dan $P(0)=n$ maka $n=2$
$P(2)=2$ dan $P(2)=2m+n$ maka $2m+n=2$ sehingga $m=0$.
Sisa pembagian yaitu $mx+n$ yaitu $0x+2=2$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 2$
4. Soal SBMPTN 2020 (*Soal Lengkap)
Diketahui sisa pembagian suku banyak $f(x)-2g(x)$, oleh $x^{2}+x-2$ yaitu $x+3$, sisa pembagian $2f(x)+g(x)$ oleh $x^{2}-3x+2$ yaitu $x+1$, maka sisa pembagian $f(x)g(x)$ oleh $x-1$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{23}{24} \\
(B)\ & \dfrac{18}{24} \\
(C)\ & -\dfrac{21}{25} \\
(D)\ & -\dfrac{48}{25} \\
(E)\ & -\dfrac{50}{36}
\end{align}$
Dari keterangan pada soal kita peroleh;
$f(x)-2g(x)=(x^{2}+x-2)H(x)+x+3$
$f(x)-2g(x)=(x+2)(x-1)H(x)+x+3$
$2f(x)+g(x)=(x^{2}-3x+2)H(x)+x+1$
$2f(x)+g(x)=(x-2)(x-1)H(x)+x+1$
Untuk $x=1$ atau $x=2$, kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
f(1)-2g(1) = 4 & \times 1\\
2f(1)+g(1) = 2 & \times 2\\
\hline
f(1)-2g(1) = 4 & \\
4f(1)+2g(1) = 4 & (+)\\
\hline
5f(1) = 8 &\\
f(1) = \dfrac{8}{5} & \\
g(1) = -\dfrac{6}{5}
\end{array} $
Nilai $f(1)g(1)=\dfrac{8}{5}\dfrac{-6}{5}=-\dfrac{48}{25}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -\dfrac{48}{25}$
5. Soal UN 2011 (*Soal Lengkap)
Diketahui suku banyak $P(x)=2x^{4}+ax^{3}-3x^{2}+5x+b$. Jika $P(x)$ dibagi $(x-1)$ sisa $11$ dan dibagi $(x+1)$ sisa $-1$, maka nilai $(2a+b)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 13 \\
(B)\ & 10 \\
(C)\ & 8 \\
(D)\ & 7 \\
(E)\ & 6
\end{align}$
Dari soal kita peroleh beberapa data, antara lain;
Jika $P(x)$ dibagi $(x-1)$ sisa $11$ maka $P(1)=11$
Jika $P(x)$ dibagi $(x+1)$ sisa $-1$ maka $P(-1)=-1$
Karena $P(1)=11$ maka
$P(x)=2x^{4}+ax^{3}-3x^{2}+5x+b$
$P(1)=2+a-3+5+b$
$11=a+b+4$
$a+b=7 \cdots (1)$
Karena $P(-1)=-1$ maka
$P(x)=2x^{4}+ax^{3}-3x^{2}+5x+b$
$P(-1)=2-a-3-5+b$
$-1=-a+b-64$
$-a+b=5 \cdots (2)$
$\begin{array}{c|c|cc}
a+b = 7 & \\
-a+b = 5 & (+)\\
\hline
2b = 12 & \\
b = 6 & \\
a = 1 &
\end{array} $
Nilai $2a+b=2+6=8$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 8$
6. Soal UN 2007 (*Soal Lengkap)
Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x+1)$ sisanya $10$ dan jikalau dibagi $(2x-3)$ sisanya $5$. Jika suku banyak $f(x)$ dibagi $(2x^{2}-x-3)$, sisanya adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -2x+8 \\
(B)\ & -2x+12 \\
(C)\ & -x+4 \\
(D)\ & -5x+5 \\
(E)\ & -5x+15
\end{align}$
Dari apa yang disampaikan pada soal, ada beberapa hal yang sanggup kita simpulkan yaitu;
$f(-1)=10$ dan $f(\dfrac{3}{2})=5$
Dari bentuk suku banyak;
$f(x)=h(x)\cdot p(x)+sisa$
$f(x)=h(x)\cdot 2x^{2}-x-3+mx+n$
$f(x)=h(x)\cdot (x+1)(2x-3)+mx+n$
$f(-1)=-m+n$ maka $-m+n=10$ $\cdots (1)$
$f(\dfrac{3}{2})=\dfrac{3}{2}m+n$ maka $\dfrac{3}{2}m+n=5$ $\cdots (2)$
Dengan mengeliminasi atau substitusi pers. $(1)$ dan $(2)$ kita peroleh nilai $m=-2$ atau $n=8$
$mx+n \equiv -2x+8$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -2x+8$
7. Soal SIMAK UI 2020 Kode 416 (*Soal Lengkap)
Diketahui suku banyak $f(x)$ dibagi $x^{2}+x-2$ bersisa $ax+b$ dan dibagi $x^{2}-4x+3$ bersisa $2bx+a-1$. Jika $f(-2)=7$, maka $a^{2}+b^{2}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 12 \\
(B)\ & 10 \\
(C)\ & 9 \\
(D)\ & 8 \\
(E)\ & 5
\end{align}$
Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+sisa$
ketika $f(x)$ dibagi $(x+2)(x-1)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x+2)(x-1)+ax+b$
ketika $f(x)$ dibagi $(x-1)(x-3)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-3)(x-1)+2bx+a-1$
Dari persamaan di atas kita peroleh:
$f(-2)=7$ maka $-2a+b=7$
$ \begin{align}
f(1) & = f(1) \\
a+b & = 2b+a-1 \\
b & = 1 \\
-2a+b & = 7 \\
-2a+1 & = 7 \\
-2a & = 6 \\
a & = -3 \\
a^{2}+b^{2} & = (-3)^{2}+(1)^{2} \\
& = 10
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ 10$
8. Soal SIMAK UI 2020 Kode 421 (*Soal Lengkap)
Diketahui suku banyak $f(x)$ dibagi $x^{2}+3x+2$ bersisa $3bx+a-2$ dan dibagi $x^{2}-2x-3$ bersisa $ax-2b$. Jika $f(3)+f(-2)=6$, maka $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 3
\end{align}$
Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+sisa$
ketika $f(x)$ dibagi $(x+2)(x+1)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x+2)(x+1)+3bx+a-2$
ketika $f(x)$ dibagi $(x+1)(x-3)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x+1)(x-3)+ax-2b$
Dari persamaan di atas kita peroleh:
$ \begin{align}
f(3)+f(-2) & = 6 \\
3a-2b-6b+a-2 & = 6 \\
4a-8b & = 8 \\
a-2b & = 2 \cdots (1)\\
f(-1) & = f(-1) \\
-3b+a-2 & = -a-2b \\
-b+2a & = 2 \cdots (2)\\
\end{align} $
$\begin{array}{c|c|cc}
a-2b = 2 & \\
-b+2a = 2 & (-)\\
\hline
-a-b = 0 & \\
a+b = 0
\end{array} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ 0$
9. Soal UMB-PT 2012 Kode 270 (*Soal Lengkap)
Hasil kali semua $x$ yang memenuhi persamaan $9^{x^{3}-4x^{2}-x+4}-9^{x^{2}+x-6}=0$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -10 \\
(B)\ & -5\sqrt{2} \\
(C)\ & 5 \\
(D)\ & 5\sqrt{2} \\
(E)\ & 10
\end{align}$
Bentuk persamaan kita coba manipulasi dengan sifat-sifat aljabar dan bilangan berpangkat, ibarat berikut ini;
$\begin{align}
9^{x^{3}-4x^{2}-x+4}-9^{x^{2}+x-6} &= 0 \\
9^{x^{3}-4x^{2}-x+4} &= 9^{x^{2}+x-6} \\
x^{3}-4x^{2}-x+4 &= x^{2}+x-6 \\
x^{3}-4x^{2}-x+4 -x^{2}-x+6 &= 0 \\
x^{3}-5x^{2}-2x+10 &= 0
\end{align}$
Untuk hasil kali semua nilai $x$ adalah:
$\begin{align}
x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} &= -\dfrac{d}{a} \\
&= -\dfrac{10}{1} \\
&= -10
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ -10 $
10. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)
Hasil bagi dan sisa suku banyak $3x^{3}+10x^{2}-8x+3$ dibagi $x^{2}+3x-1$, berturut-turut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 3x+1\ \text{dan}\ 2x+2 \\
(B)\ & 3x+1\ \text{dan}\ -8x+4 \\
(C)\ & 3x-1\ \text{dan}\ 8x+2 \\
(D)\ & 3x+19\ \text{dan}\ -56x+21 \\
(E)\ & 3x+19\ \text{dan}\ 51x+16
\end{align}$
Pembagian suku banyak di atas kita coba bagikan dengan pembagian bersusun kebawah;
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 3x+1\ \text{dan}\ -8x+4$
11. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)
Jika $f(x)=ax^{3}+3bx^{2}+(2a-b)x+4$ dibagi $(x-1)$ sisanya $10$, sementara jikalau dibagi dengan $(x+2)$ akan menghasilkan sisa $2$. Nilai $a$ dan $b$ berturut-turut yang memenuhi adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{4}{3}\ \text{dan}\ 1 \\
(B)\ & \dfrac{3}{4}\ \text{dan}\ 1 \\
(C)\ & 1\ \text{dan}\ \dfrac{4}{3} \\
(D)\ & 1\ \text{dan}\ \dfrac{3}{4} \\
(E)\ & -\dfrac{4}{3}\ \text{dan}\ 1
\end{align}$
Catatan calon guru ihwal Pembagian suku banyak yang mungkin membantu yaitu;
Teorema Sisa
- Jika suatu fungsi suku banyak $f(x)$ dibagi oleh faktor linear berbentuk $(x-a)$, sisanya yaitu $s=f(a)$.
- Jika suatu fungsi suku banyak $f(x)$ dibagi oleh faktor linear berbentuk $(ax-b)$, sisanya yaitu $s=f \left(\dfrac{b}{a} \right)$.
f(x) &= ax^{3}+3bx^{2}+(2a-b)x+4 \\
f(1) &= a(1)^{3}+3b(1)^{2}+(2a-b)(1)+4 \\
10 &= a +3b+ 2a-b +4 \\
6 &= 3a +2b \\
\hline
f(-2) &= a(-2)^{3}+3b(-2)^{2}+(2a-b)(-2)+4 \\
2 &= -8a +12b -4a+2b+4 \\
-2 &= -12a +14b
\end{align}$
Dengan mengeliminasi atau substitusi, kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
-12a+14b = -2 & (\times 1) \\
3a+2b = 6 & (\times 4) \\
\hline
-12a+14b = -2 & \\
12a+8b = 24 & (+) \\
\hline
22b = 22 & \\
b = 1 & 3a+2b = 6 \\
& 3a+2(1) = 6 \\
& a = \dfrac{4}{3}
\end{array} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ \dfrac{4}{3}\ \text{dan}\ 1$
12. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2020 (*Soal Lengkap)
Jika suku banyak $P(x)=ax^{3}+x^{2}+bx+1$ habis dibagi $x^{2}+1$ dan $x+a$, maka $ab=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4} \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 4
\end{align}$
Catatan calon guru ihwal Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$
Agar $(-a +b)x=0$ maka $-a+b=0$ atau $b=a$.
Karena $P(x)$ habis dibagi $x+a$
$ \begin{align}
P(x) & = ax^{3}+x^{2}+bx+1 \\
P(-a) & = a(-a)^{3}+(-a)^{2}+b(-a)+1 \\
0 & = -a^{4}+a^{2}+(a)(-a)+1 \\
0 & = -a^{4}+a^{2}-a^{2}+1 \\
a^{4} & = 1 \\
a & = \pm 1 \\
b & = \pm 1 \\
ab & = 1
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 1$
13. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2020 (*Soal Lengkap)
Suku banyak $f(x)=ax^{3}-ax^{2}+bx-a$ habis dibagi $x^{2}+1$ dan dibagi $x-4$ bersisa $51$ Nilai $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Catatan calon guru ihwal Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$
Agar $(-a +b)x=0$ maka $-a+b=0$ sehingga berlaku $b=a$.
Karena $P(x)$ dibagi $x-4$ bersisa $51$, maka berlaku:
$ \begin{align}
f(x) & = ax^{3}-ax^{2}+bx-a \\
f(4) & = a(4)^{3}-a(4)^{2}+(a)(4)-a \\
51 & = 64a -16a +4a-a \\
51 & = 51a \\
a & = 1 \\
b & = 1 \\
a+b & = 2
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ 2$
14. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2020 (*Soal Lengkap)
Jika $P(x)= x^{3}+ax^{2}+2x+b$ dengan $a \neq 0$ habis dibagi $x^{2}+2$, maka nilai $\dfrac{b}{2a}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4} \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 4
\end{align}$
Catatan calon guru ihwal Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$
$ \begin{align}
b-2a & = 0 \\
b & = 2a \\
\hline
\dfrac{b}{2a} & = \dfrac{2a}{2a} \\
& = 1
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 1$
15. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2020 (*Soal Lengkap)
Jika $P(x)= ax^{3}+bx^{2}+(a-2b)x-a$ habis dibagi oleh $x^{2}+2$ dan $x+b$, maka nilai $ab$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{4} \\
(B)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(C)\ & -1 \\
(D)\ & -2 \\
(E)\ & -4
\end{align}$
Catatan calon guru ihwal Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$
$ \begin{align}
P(x) & \equiv \left( k \right)\left(x^{2}+2\right) \left(x+b \right) \\
ax^{3}+bx^{2}+(a-2b)x-a & \equiv kx^{3}+kbx^{2}+2kx+2bk
\end{align} $
Dari kesamaan dua suku banyak di atas kita peroleh
$ \begin{align}
bx^{2} \equiv kbx^{2} & \rightarrow b=kb \rightarrow k=1 \\
ax^{3} \equiv kx^{3} & \rightarrow a=k \rightarrow a=1 \\
-a \equiv 2bk & \rightarrow -a=2bk \rightarrow -1=2b \\
\hline
ab & = (1) \cdot -\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2}
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ -\dfrac{1}{2}$
16. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2020 (*Soal Lengkap)
Suku banyak $P(x)= x^{3}+bx^{2}-2x-6$ dibagi $(x-2)^{2}$ bersisa $-2x+a$. Nilai $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 15 \\
(B)\ & 13 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -13 \\
(E)\ & -15
\end{align}$
Catatan calon guru ihwal Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$
$ \begin{align}
10x+4bx-4b-22 & \equiv -2x+a \\
(10 +4b)x-4b-22 & \equiv -2x+a \\
\hline
10+4b & \equiv -2 \rightarrow b=-3 \\
-4b-22 & \equiv a \rightarrow a=-10 \\
a+b & = -13
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ -13$
17. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2020 (*Soal Lengkap)
Diketahui suku banyak $f(x)= ax^{3}+(a+b)x^{2}-bx+a+b$. Jika $x^{2}+1$ yaitu faktor dari $f(x)$ dan $f(a)=2$, maka nilai $ab=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Catatan calon guru ihwal Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$
$ \begin{align}
f(x) &= ax^{3}+(a+b)x^{2}-bx+a+b \\
f(a) &= a(a)^{3}+(a+b)(a)^{2}-b(a)+a+b \\
2 &= a(a)^{3}+(0)(a)^{2}-b(a)+0 \\
2 &= a(a)^{3}-(-a)(a)+0 \\
0 &= a^{4}+a^{2}-2 \\
0 &= \left(a^{2}+2 \right)\left(a^{2}-1 \right) \\
0 &= \left(a^{2}+2 \right)\left(a-1 \right)\left(a+1 \right) \\
\hline
a =1 & \rightarrow b=-1 \\
a =-1 & \rightarrow b=+1 \\
a+b & = -1
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ -1$
18. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2020 (*Soal Lengkap)
Jika suku banyak $f(x)= ax^{3}+3x^{2}+(b-2)x+b$ habis dibagi $x^{2}+1$, maka nilai $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 5 \\
(E)\ & 6
\end{align}$
Catatan calon guru ihwal Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$
Agar $(b-a-2)x+b-3=0$, maka $ b-a-2 =0$ dan $b-3=$ sehingga berlaku $b=3$ atau $b-a-2 =0 \rightarrow a=1$. Nilai $a+b=4$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 4$
19. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2020 (*Soal Lengkap)
Jika Diketahui $P(x)= \left( x-1 \right)\left( x^{2}-x-2 \right) \cdot Q(x)+\left( ax+b \right)$. Dengan $Q(x)$ yaitu suatu suku banyak. Jika $P(x)$ dibagi dengan $(x+1)$ bersisa $10$ dan jikalau dibagi $(x-1)$ bersisa $20$. Maka apabila $P(x)$ dibagi dengan $(x-2)$ akan bersisa...
$\begin{align}
(A)\ & 10 \\
(B)\ & 20 \\
(C)\ & 25 \\
(D)\ & 35 \\
(E)\ & 45
\end{align}$
Catatan calon guru ihwal Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$
P(x) &= \left( x-1 \right)\left( x^{2}-x-2 \right) \cdot Q(x)+\left( ax+b \right) \\
P(x) &= \left( x-1 \right)\left( x-1 \right)\left( x-2 \right) \cdot Q(x)+\left( ax+b \right) \\
P(-1) & =10 \rightarrow -a +b= 10 \\
P( 1) &=20 \rightarrow a +b= 20 \\
\end{align} $
$\begin{array}{c|c|cc}
-a+b = 10 & \\
a+b = 20 & (+) \\
\hline
2b = 30 & \\
b = 15 & \\
a = 5
\end{array} $
Jika $P(x)$ dibagi oleh $(x-2)$, maka sisa pembagian adalah:
$ \begin{align}
P(x) &= \left( x-1 \right)\left( x^{2}-x-2 \right) \cdot Q(x)+\left( ax+b \right) \\
P(x) &= \left( x-1 \right)\left( x-1 \right)\left( x-2 \right) \cdot Q(x)+\left( ax+b \right) \\
P(2) &= 2a+ b \\
P(2) &= 2(5)+ (15)=25
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 25$
20. Soal SPMB 2006 (*Soal Lengkap)
Diketahui $f(x)= x^{4}+x^{3}-2$ dan $g(x)= x^{3}+2x^{2}+2x+2$. Jika $g(x)$ dibagi dengan $(x-a)$ bersisa $1$ maka $f(x)$ dibagi $(x-a)$ bersisa...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -1 \\
(E)\ & -2
\end{align}$
Catatan calon guru ihwal Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan yaitu Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$.
$g(x)$ dibagi $(x-a)$ bersisa $1$, maka berlaku:
$ \begin{align}
g(a) & = 1 \\
(a)^{3}+2(a)^{2}+2(a)+2 & = 1 \\
a^{3}+2a^{2}+2a+2-1 & = 0 \\
a^{3}+2a^{2}+2a+1 & = 0 \\
(a^{2}+a+1)(a+1) & = 0 \\
(a^{2}+a+1)=0 & (a+1)=0 \\
(a^{2}+a+1)=0 & a = -1
\end{align} $
$f(x)$ dibagi $(x-a)$:
$ \begin{align}
f(a) & = a^{4}+a^{3}-2 \\
f(-1) & = (-1)^{4}+(-1)^{3}-2 \\
& = 1-1-2 \\
& = -2
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ -2$
21. Soal SPMB 2007 (*Soal Lengkap)
Jika suku banyak $2x^{3}-px^{2}+qx+6$ dan $2x^{3}+3x^{2}-4x-1$ mempunyai sisa sama apabila dibagi $(x+1)$ maka nilai $p+q=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Catatan calon guru ihwal Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$
Suku banyak $2x^{3}-px^{2}+qx+6$ dibagi $(x+1)$ maka sisa pembagian adalah:
$ \begin{align}
2x^{3}-px^{2}+qx+6 & = 2(-1)^{3}-p(-1)^{2}+q(-1)+6 \\
& = -2-p -q +6 \\
& = 4-p -q
\end{align} $
Suku banyak $2x^{3}+3x^{2}-4x-1$ dibagi $(x+1)$ maka sisa pembagian adalah:
$ \begin{align}
2x^{3}+3x^{2}-4x-1 & = 2(-1)^{3}+3(-1)^{2}-4(-1)-1 \\
& = -2+3+4-1 \\
& = 4
\end{align} $
Karena sisa pembagian di atas dikatakan sama sehingga berlaku:
$ \begin{align}
4-p-q & = 4 \\
-p-q & = 4-4 \\
-p-q & = 0 \\
p+q & = 0
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 0$
22. Soal SPMB 2007 (*Soal Lengkap)
Diketahui suku banyak $P(x)=ax^{6}+bx^{4}+cx-2007$ dengan $a,b$ dan $c$ konstanta. Jika suku banyak $p(x)$ bersisa $-2007$ bila dibagi oleh $(x-2007)$ dan juga bersisa $-2007$ bila dibagi oleh $(x+2007)$, maka $c=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2007 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 10 \\
(E)\ & 2007
\end{align}$
Catatan calon guru ihwal Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$
Suku banyak $P(x)=ax^{6}+bx^{4}+cx-2007$ dibagi $(x-2007)$ bersisa $-2007$ maka berlaku:
$ \begin{align}
P(2007) & = -2007 \\
a(2007)^{6}+b(2007)^{4}+c(2007)-2007 & = -2007 \\
a(2007)^{6}+b(2007)^{4}+c(2007) & = 0 \\
a(2007)^{6}+b(2007)^{4} & = - 2007c
\end{align} $
Suku banyak $P(x)=ax^{6}+bx^{4}+cx-2007$ dibagi $(x+2007)$ bersisa $-2007$ maka berlaku:
$ \begin{align}
P(-2007) & = -2007 \\
a(-2007)^{6}+b(-2007)^{4}+c(-2007)-2007 & = -2007 \\
a(-2007)^{6}+b(-2007)^{4}+c(-2007) & = 0 \\
a (-1)^{6} (2007)^{6}+b(-1)^{4}(2007)^{4}+c(-1)(2007) & = 0 \\
a (2007)^{6}+b (2007)^{4}-c(2007) & = 0 \\
a (2007)^{6}+b (2007)^{4} & = 2007c
\end{align} $
Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$ \begin{align}
a (2007)^{6}+b (2007)^{4} & = a (2007)^{6}+b (2007)^{4} \\
2007c & = -2007c \\
2007c+2007c & = 0 \\
4014c & = 0 \\
c & = 0
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 0$
23. Soal SNMPTN 2008 (*Soal Lengkap)
Nilai $m+n$ yang menyebabkan $x^{4}-6ax^{3}+8a^{2}x^{2}-ma^{4}x+na^{4}$ habis dibagi $(x-a)^{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -1 \\
(E)\ & -2
\end{align}$
Catatan calon guru ihwal Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$
$ \begin{align}
-ma^{3}+2a^{3} & = 0 \\
\left( -m +2 \right) a^{3} & = 0 \\
-m +2 & = 0 \\
m & = 2 \\
\hline
na^{4}-ma^{4}+3a^{4} & = 0 \\
na^{4}-(2)a^{4}+3a^{4} & = 0 \\
na^{4}+a^{4} & = 0 \\
\left(n +1 \right) a^{4} & = 0 \\
n & = -1 \\
\hline
m+n & = 2-1 \\
m+n & = 1
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ 1$
24. Soal SNMPTN 2009 (*Soal Lengkap)
Salah satu faktor suku banyak $x^{3}+kx^{2}+x-3$ yaitu $x-1$. Faktor yang lain adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x^{2}+3x+3 \\
(B)\ & x^{2}+x-3 \\
(C)\ & x^{2}+3x-3 \\
(D)\ & x^{2}+2x+3 \\
(E)\ & x^{2}-7x+3
\end{align}$
Catatan calon guru ihwal Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
- Faktor suku banyak $f(x)$ yaitu $(x-a)$ maka $f(a)=0$
$ \begin{align}
(1)^{3}+k(1)^{2}+(1)-3 & = 0 \\
1+k +1-3 & = 0 \\
k-1 & = 0 \\
k & = 1
\end{align} $
Untuk nilai $k=1$ maka suku banyak $x^{3}+x^{2}+x-3$ dibagi $(x-1)$ dengan metode horner sebagai berikut:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ x^{2}+2x+3$
25. Soal SNMPTN 2011 (*Soal Lengkap)
Diketahui $g(x)=ax^{2}-bx+a-b$ habis dibagi $x-1$. Jika $f(x)$ yaitu suku banyak yang bersisa $a$ ketika dibagi $(x-1)$ dan bersisa $3ax+b^{2}+1$ ketika dibagi $g(x)$, maka nilai $a$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 3
\end{align}$
Catatan calon guru ihwal Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$
$ \begin{align}
g(1) & = 0 \\
a(1)^{2}-b(1)+a-b & = 0 \\
a -b +a-b & = 0 \\
2a -2b & = 0 \\
a & = b
\end{align} $
Untuk $a=b$, maka $g(x)=ax^{2}-bx+a-b=ax^{2}-ax$ atau $g(x)=ax \left( x-1 \right)$
Diketahui suku banyak $f(x)$ bersisa $a$ ketika dibagi $(x-1)$, sehingga $f(1) = a$ dan $f(x)$ bersisa $3ax+b^{2}+1$ ketika dibagi $g(x)$, maka berlaku:
$ \begin{align}
f(x) & = H(x) \cdot g(x)+sisa \\
f(x) & = H(x) \cdot ax \left( x-1 \right) + 3ax+b^{2}+1 \\
f(1) & = 3a(1)+b^{2}+1 \\
a & = 3a +a^{2}+1 \\
0 & = a^{2}+2a+1 \\
0 & = (a+1)(a+1) \\
a & = -1
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ -1$
26. Soal SNMPTN 2011 (*Soal Lengkap)
Diketahui suku banyak $f(x)$ bersisa $-2$ bila dibagi $(x+1)$, bersisa $3$ bila dibagi $(x-2)$. Suku banyak $g(x)$ bersisa $3$ bila dibagi $(x+1)$, bersisa $2$ bila dibagi $(x-2)$. Jika $h(x)=f(x) \cdot g(x)$, maka sisa $h(x)$ bila dibagi $x^{2}-x-2$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4x-2 \\
(B)\ & 3x-2 \\
(C)\ & 3x+2 \\
(D)\ & 4x+2 \\
(E)\ & 5x-2
\end{align}$
Catatan calon guru ihwal Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n $
$ \begin{align}
f(-1) & = -2 \\
f(2) & = 3
\end{align} $
Diketahui $g(x)$ bersisa $3$ bila dibagi $(x+1)$, bersisa $2$ bila dibagi $(x-2)$, maka berlaku:
$ \begin{align}
g(-1) & = 3 \\
g(2) & = 2
\end{align} $
Karena $h(x)=f(x) \cdot g(x)$, maka sisa $h(x)$ bila dibagi $x^{2}-x-2$, berlaku:
$ \begin{align}
h(x) & = f(x) \cdot g(x) \\
f(x) \cdot g(x) & = H(x) \cdot \left(x^{2}-x-2 \right)+mx+n \\
f(x) \cdot g(x) & = H(x) \cdot \left(x-2 \right)\left(x+1 \right)+mx+n \\
\hline
f(-1) \cdot g(-1) & = H(-1) \cdot \left(-1-2 \right)\left(-1+1 \right)+m(-1)+n \\
(-2) \cdot (3) & =-m+n \\
-6 & =-m+n\ \cdots \text{pers.1} \\
\hline
f(2) \cdot g(2) & = H(2) \cdot \left(2-2 \right)\left(2+1 \right)+m(2)+n \\
(3) \cdot (2) & =2m+n \\
6 & =2m+n\ \cdots \text{pers.2} \\
\end{align} $
Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
-m+n = -6 & \\
2m+n = 6 & (-) \\
\hline
-3m = -12 & \\
m = 4 \\
n = -2
\end{array} $
Sisa pembagian yaitu $mx+n \equiv 4x-2$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ 4x-2$
27. Soal SNMPTN 2020 (*Soal Lengkap)
Sisa pembagian $p(x)=x^{3}-ax^{2}-2bx-4a-4$ oleh $x^{2}+1$ yaitu $-5a+2$. Jika $p(x)$ dibagi $x-1$ bersisa $-17$, maka $4ab=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -12 \\
(B)\ & -9 \\
(C)\ & -7 \\
(D)\ & -6 \\
(E)\ & -5
\end{align}$
Catatan calon guru ihwal Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n $
$ \begin{align}
p(1) & = -17 \\
-17 & = (1)^{3}-a(1)^{2}-2b(1)-4a-4 \\
-17 & = 1-a -2b -4a-4 \\
-14 & = -5a-2b \\
14 & = 5a +2b
\end{align} $
Diketahui juga bahwa $p(x)$ dibagi $x^{2}+1$ bersisa $-5a+2$. Jika $p(x)$ dibagi $x^{2}+1$ dengan memakai metode horner-kino kurang lebih ibarat berikut ini:
$ \begin{align}
-3a-4 & = -5a+2 \\
-3a+5a & = 4+2 \\
2a & = 6 \\
a & = 3 \\
\hline
5a +2b &= 14 \\
5(3) +2b &= 14 \\
2b & = 14-15 \\
b & = -\dfrac{1}{2} \\
\hline
4ab & = 4 \cdot 3 \cdot -\dfrac{1}{2} \\
& = -6
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ -6$
28. Soal SNMPTN 2013 (*Soal Lengkap)
Jika $x^{4}+ax^{3}+(b-10)x^{2}+24x-15=f(x)(x-1)$ dengan $f(x)$ habis dibagi $x-1$, maka nilai $b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\
(B)\ & 6 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 1
\end{align}$
Catatan calon guru ihwal Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n $
$ \begin{align}
x^{4}+ax^{3}+(b-10)x^{2}+24x-15 &= f(x)(x-1) \\
(1)^{4}+a(1)^{3}+(b-10)(1)^{2}+24(1)-15 &= f(1)(1-1) \\
1+a + b-10 +24 -15 &= 0 \\
a + b &= 0 \\
a & = -b
\end{align} $
Diketahui $x^{4}+ax^{3}+(b-10)x^{2}+24x-15 = f(x)(x-1)$ dan $f(x)$ juga habis dibagi $x-1$ sehingga sanggup kita simpulkan bahwa $x^{4}+ax^{3}+(b-10)x^{2}+24x-15$ habis dibagi $(x-1)(x-1)$ atau $x^{2}-2x+1$.
Dengan memakai metode horner-kino jikalau $x^{4}+ax^{3}+(b-10)x^{2}+24x-15$ dibagi $x^{2}-2x+1$ kurang lebih ibarat berikut ini:
$ \begin{align}
-2a-b-8 & = 0 \\
-2(-b)-b-8 & = 0 \\
2b-b-8 & = 0 \\
b & = 8
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ 8$
29. Soal SNMPTN 2014 (*Soal Lengkap)
Diketahui $P$ dan $Q$ suatu Polynomial sehingga $P(x)Q(x)$ dibagi $x^{2}-1$ bersisa $3x+5$. Jika $Q(x)$ dibagi $x-1$ bersisa $4$, maka $P(x)$ dibagi $x-1$ bersisa...
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\
(B)\ & 6 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 1
\end{align}$
Catatan calon guru ihwal Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n $
$ \begin{align}
P(x)Q(x) &= H(x) \left( x^{2}-1 \right) +3x+5 \\
P(x)Q(x) &= H(x) \left( x-1 \right) \left( x+1 \right) +3x+5 \\
P(1)Q(1) &= H(1) \left( 1-1 \right) \left( 1+1 \right) +3(1)+5 \\
P(1) \cdot 4 &= 8 \\
P(1) &= \dfrac{8}{4}=2 \\
\end{align} $
Karena $P(1)=2$, maka $P(x)$ dibagi $x-1$ bersisa $2$.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ 2$
30. Soal SNMPTN 2014 (*Soal Lengkap)
Diketahui $P(x)$ suatu polynomial. Jika $P(x+1)$ dan $P(x-1)$ masing-masing menunjukkan sisa $2$ apabila masing-masing dibagi $(x-1)$, maka $P(x)$ dibagi $x^{2}-2x$ menunjukkan sisa...
$\begin{align}
(A)\ & x+2 \\
(B)\ & 2x \\
(C)\ & x \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Catatan calon guru ihwal Polynomial yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n $
$P(x)$ dibagi $x^{2}-2x$, sehingga berlaku:
$ \begin{align}
P(x) &= H(x) \left( x^{2}-2x \right) + mx+n \\
\hline
P(0) &= H(0) \cdot (0) \left( 0-2 \right) + m(0)+n \\
2 &= n \\
\hline
P(2) &= H(2) \cdot (2) \left( 2-2 \right) + m(2)+n \\
2 &= 2m+n \\
2 &= 2m+2 \\
2-2 &= 2m \\
0 &= m \\
\end{align} $
Sisa pembagian $mx+n \equiv 0x+2$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ 2$
31. Soal SBMPTN 2015 (*Soal Lengkap)
Sisa pembagian $Ax^{2014}+x^{2015}-B \left( x-2 \right)^{2} $ dibagi oleh $x^{2}-1$ yaitu $5x-4$. Nilai $A+B$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -4 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 4
\end{align}$
Catatan calon guru ihwal Polynomial yang mungkin kita butuhkan adalah:
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
- Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n $
Diketahui $P(x)$ dibagi $x^{2}-1$ bersisa $5x-4$, sehingga berlaku:
$ \begin{align}
P(x) &= H(x) \left( x^{2}-1 \right) + 5x-4 \\
P(x) &= H(x) \left( x-1 \right)\left( x+1 \right) + 5x-4 \\
\hline
P(1) &= H(1) \left( 1-1 \right)\left( 1+1 \right) + 5(1)-4 \\
P(1) &= 1 \\
\hline
P(-1) &= H(-1) \left( -1-1 \right)\left( -1+1 \right) + 5(-1)-4 \\
P(-1) &= -9 \\
\end{align} $
Untuk $x=1$ dan $x=-1$, kita peroleh:
$\begin{align}
P(x) &= Ax^{2014}+x^{2015}-B \left( x-2 \right)^{2} \\
P(1) &= A(1)^{2014}+(1)^{2015}-B \left( 1-2 \right)^{2} \\
1 &= A+1 -B \\
0 &= A -B \\
B &= A \\
\hline
P(-1) &= A(-1)^{2014}+(-1)^{2015}-B \left( -1-2 \right)^{2} \\
-9 &= A -1 -9B \\
-8 &= A -9B \\
-8 &= B -9B \\
-8 &= -8B \\
1 &= B \\
A &= 1 \\
\end{align}$
Nilai $A+B=1+1=2$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 2$
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras- lembar tanggapan evaluasi harian matematika,
- lembar tanggapan evaluasi final semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊
Video pilihan khusus untuk Anda 😂 mari kita lihat kreativitas siswa ini lewat matematika;
Belum ada Komentar untuk "✔ Bank Soal Dan Pembahasan Matematika Dasar Suku Banyak (Polinomial)"
Posting Komentar