✔ Uji Kompetensi Bentuk Akar Sma Kurikulum 2013 - Soal Dan Pembahasan (1.2)
Uji Kompetensi Bentuk Akar Sekolah Menengan Atas Kurikulum 2013 - Soal dan Pembahasan (1.2). Soal dari buku kurikulum 2013 yang kita coba diskusikan yaitu soal uji kompetensi 1.2, tepatnya dari topik pembahasan bentuk akar.
Pada uji kompetensi tersebut diberikan beberapa soal latihan dan yang kita diskusikan disini yaitu dari soal tantangan. Soal-soal yang disajikan pada kurikulum ini banayk mengarah ke soal-soal olimpiade matematika. Seperti sebelumnya soal dan pembahasan uji kompetensi eksponen sudah kita diskusikan, kini mari kita mulai berdiskusi wacana bentuk akar;
1a. Tentukan nilai dari:
$ \sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3 \cdots}}}}}}}}$
Soal diatas biar tidak menyulitkan membacanya coba kita lihat polanya, polanya yaitu $ \sqrt[3]{2\sqrt{3}}$ yang ditulis secara berulang menjadi $ \sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3...}}}}}}}}$
dan tanda "$ ...$" maksudnya 'dan seterusnya dengan teladan yang berulang'.
Untuk menuntaskan soal diatas coba kita selesaikan dengan pemisalan, misalkan:
$ \sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3...}}}}}}}}\ =\ a$
Dengan melihat pemisalan diatas, sehingga kini kita hanya mencari nilai $ a$, dengan mempangkatkan ruas kiri dan kanan dengan 3, sehingga kita peroleh:
$ 2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3...}}}}}}}\ =\ a^{3}$
Lalu ruas kiri dan kanan sama-sama kita bagi dengan 2, sehingga kita peroleh:
$ \sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3...}}}}}}}\ =\frac{1}{2} a^{3}$
Selanjutnya ruas kiri dan kanan sama-sama kita pangkatkan dengan 2, sehingga kita peroleh:
$ 3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3...}}}}}}\ =\frac{1}{4} a^{6}$
Berikutnya ruas kiri dan kanan sama-sama kita bagi dengan 3, sehingga kita peroleh:
$ \sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3...}}}}}}\ =\frac{1}{12} a^{6}$
Dengan mensubstitusikan nilai $ a$ pada ruas kiri, sehingga bentuknya menjadi:
$ a\ =\frac{1}{12} a^{6}$
$ 1\ =\frac{1}{12} a^{5}$
$ 12\ =\ a^{5}$
$ a=\sqrt[5]{12}$
1b. Tentukan nilai dari:
$ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\cdots}}}}}}$
Seperti soal (1a), soal diatas biar tidak menyulitkan membacanya coba kita lihat polanya, polanya yaitu $ \sqrt{2}$ yang ditulis secara berulang menjadi $ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...}}}}}}$
dan tanda "$ ...$" maksudnya 'dan seterusnya dengan teladan yang berulang'
Untuk menuntaskan soal diatas coba kita selesaikan dengan pemisalan, misalkan:
$ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...}}}}}}\ =\ b$
Dengan melihat pemisalan diatas, sehingga kini kita hanya mencari nilai $ b$, dengan mempangkatkan ruas kiri dan kanan dengan 2, sehingga kita peroleh:
$ 2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...}}}}}\ =\ b^{2}$
Lalu ruas kiri dan kanan sama-sama kita kurang dengan 2, sehingga kita peroleh:
$ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...}}}}}\ =\ b^{2}-2$
Dengan mensubstitusikan nilai $ b$ pada ruas kiri, sehingga bentuknya menjadi:
$ b\ =\ b^{2}-2$
$ b^{2}-b-2=0$
Bentuk diatas sudah menjadi bentuk persamaan kuadrat, untuk memilih akar persamaan kuadrat salah satunya dengan cara memfaktorkan sehingga kita peroleh:
$ \left ( b-2 \right )\left ( b+1 \right )=0$
$ b-2=0\ atau\ b+1=0$
$ b+1=0$ sehingga $ b=-1$ tidak memenuhi alasannya yaitu akar kuadrat dari bilangan aktual kesannya yaitu bilangan positif.
Hasil dari soal diatas yang memenuhi yaitu $ b-2=0$ sehingga $ b=2$
1c. Tentukan nilai dari:
$ 1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{\cdots}}}}}}}}$
Soal diatas biar tidak menyulitkan membacanya coba kita lihat polanya, polanya yaitu $ 1+\frac{1}{\sqrt{\cdots}}$ yang ditulis secara berulang menjadi
$ 1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{\cdots}}}}}}}}$
dan tanda "$ ...$" maksudnya 'dan seterusnya dengan teladan yang berulang'.
Untuk menuntaskan soal diatas coba kita selesaikan dengan pemisalan, misalkan:
$ \sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{\cdots}}}}}}}}}\ =\ c$
Dengan pemisalan diatas, sehingga kita peroleh:
$ 1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{\cdots}}}}}}}}\ =\ c^2$
kini kita hanya mencari nilai $ c^2$,
Bentuk soal sanggup kita rubah menjadi
$ 1+\frac{1}{c}=c^2$
$ c+1=c^3$
$ c^3-c-1=0$
Sampai pada langkah ini saya kehabisan kata-kata, eksklusif saya meminta dukungan kepada wolframalpha dan diperoleh Solusi realnya yaitu bilangan irasional dengan pendekatan nilai $ c=1,3247...$
Soal kita membutuhka nilai $ c^2=(1,3247...)^2=1,7548...$
Pemisalan soal sanggup juga dilakukan berbeda, penyelesaian soal sanggup menjadi;
$ 1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{...}}}}}}}}\ =\ c$
Dengan pemisalan diatas, sehingga kita peroleh:
$ 1+\frac{1}{\sqrt{c}}\ =\ c$
$ \frac{1}{\sqrt{c}}\ =\ c-1$
$ c \sqrt{c} - \sqrt{c} =\ 1$ (lalu dikuadratkan ruas kiri dan ruas kanan)
$ c^3 -2c^2+c=\ 1$
$ c^3 -2c^2+c-1=\ 0$
Sampai pada langkah ini saya kembali kehabisan kata-kata, dan kembali saya meminta dukungan kepada wolframalpha dan diperoleh solusi realnya yaitu bilangan irasional dengan pendekatan nilai $ c=1,7549...$
Kata sahabat (yang saya anggap teman) untuk mencari solusi $ c^3-c-1=0$ atau $ c^3 -2c^2+c-1=\ 0$ sanggup diselesaikan dengan 'Metode Cardano' dimana metode ini gres saja saya dengar.
Jika pembaca ada pandangan gres lain yang mungkin lebih sederhana terhadap penyelesaian soal ini saya sangat berterimakasih.
2. Jika $ a,b$ yaitu bilangan orisinil dengan $ a\leq b $ dan $ \frac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}}$ yaitu bilangan rasional, tentukan pasangan $(a,b)$ (OSN 2005/2006)
$ \frac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}}$ yaitu bilangan rasional sehingga dpat kita tuliskan sebuah persamaan;
$ \frac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}}=\frac{m}{n}$,
dimana $ a, b, m, n$ yaitu bilangan orisinil serta $ m\ dan\ n$ keduanya relatif prima (FPB dari $ m\ dan\ n$ yaitu 1).
$ n\sqrt{3}+n\sqrt{a}=m\sqrt{4}+m\sqrt{b}$
$ n\sqrt{3}+n\sqrt{a}=2m+m\sqrt{b}$
$ n\sqrt{3}-2m=m\sqrt{b}-n\sqrt{a}$
$ \left (n\sqrt{3}-2m \right )^{2}=\left (m\sqrt{b}-n\sqrt{a} \right )^2$
$ 3n^2+4m^2-4mn\sqrt{3}=m^2b+n^2a-2mn\sqrt{ab}$
Karena $ a, b, m, n$ semuanya yaitu bilangan orisinil maka $ 4mn\sqrt{3}=2mn\sqrt{ab}$, sehingga $ \sqrt{ab}=\sqrt{12}$
kemungkinan pasangan $ \left (a,b \right )$ yaitu $ \left (1,12 \right ), \left (2,6 \right ), \left (3,4 \right )$
Jika $ a=1\ dan\ b=12$ maka $ \frac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{1}}{\sqrt{4}+\sqrt{12}}=\frac{1}{2}$ (diperoleh hasil bilangan rasional)
Jika $ a=2\ dan\ b=6$ maka $ \frac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{4}+\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ (diperoleh hasil bukan bilangan rasional)
Jika $ a=3\ dan\ b=4$ maka $ \frac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{3}}{\sqrt{4}+\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (diperoleh hasil bukan bilangan rasional)
Pasangan (a,b) yaitu (1,12)
3. Nyatakan b dalam a dan c dari persamaan $ \frac{\sqrt[3]{b \sqrt{c}}}{\sqrt{c \sqrt[3]{a}}}=abc$
$ \frac{\sqrt[3]{b \sqrt{c}}}{\sqrt{c \sqrt[3]{a}}}=abc$
$ \frac{\sqrt[3]{b c^\frac{1}{2}}}{\sqrt{c a^\frac{1}{3}}}=abc$
$ \frac{b^{\frac{1}{3}} c^\frac{1}{6}}{c^{\frac{1}{2}} a^\frac{1}{6}}=abc$
$ \frac{b^\frac{1}{3}}{b}=\frac{a\cdot a^\frac{1}{6}\cdot c\cdot c^\frac{1}{2}}{c^\frac{1}{6}}$
$ b^\frac{-2}{3}=a^{1+\frac{1}{6}}\cdot c^{\frac{3}{2}-\frac{1}{6}}$
$ b^\frac{-2}{3}=a^\frac{7}{6}\cdot c^\frac{4}{3}$
$ b=a^\frac{-21}{12}\cdot c^\frac{-12}{6}$
$ b=a^\frac{-7}{4}\cdot c^{-2}$
4. Sederhanakan bentuk $ \sqrt[4]{49-20\sqrt{6}}$
$ \sqrt[4]{49-20\sqrt{6}}$
kita coba sederhanakan dengan memakai sifat
$ \sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{\left(a+b\right)+2\sqrt{ab}}$ atau
$ \sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{\left(a+b\right)-2\sqrt{ab}}$
$ =\sqrt[4]{49-20\sqrt{6}}$
$ =\sqrt{\sqrt{49-2\sqrt{600}}}$
$ =\sqrt{\sqrt{(25+24)-2\sqrt{25\cdot 24}}}$
$ =\sqrt{\sqrt{25}-\sqrt{24}}$
$ =\sqrt{5-2\sqrt{6}}$
$ =\sqrt{(3+2)-2\sqrt{3 \cdot 2}}$
$ =\sqrt{3} -\sqrt{2}$
5. Tentukan nilai $a$ dan $b$ dari:
$ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+...+\frac{1}{\sqrt{1.000.000}+\sqrt{1.000.001}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$
Untuk mencoba menuntaskan soal diatas kita coba dengan menyederhanakan beberapa bentuk akar dari soal dengan cara merasionalkan penyebut;
$ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}=-\sqrt{2}+\sqrt{3}$
$ \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}\times \frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{\sqrt{3}-\sqrt{4}}=-\sqrt{3}+\sqrt{4}$
$ \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}\times \frac{\sqrt{4}-\sqrt{5}}{\sqrt{4}-\sqrt{5}}=-\sqrt{4}+\sqrt{5}$
$ \vdots $
$ \frac{1}{\sqrt{999.999}+\sqrt{1.000.000}}=-\sqrt{999.999}+\sqrt{1.000.000}$
$ \frac{1}{\sqrt{1.000.000}+\sqrt{1.000.001}}=-\sqrt{1.000.000}+\sqrt{1.000.001}$
Dari bentuk yang sudah disederhanakan diatas kalau kita jumlahkan ibarat soal, maka soal berubah menjadi;
$ -\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{3}+ \cdots +\sqrt{1.000.000}-\sqrt{1.000.000}+\sqrt{1.000.001}$
$ = -\sqrt{2}+\sqrt{1.000.001}$
$ = \sqrt{1.000.001} -\sqrt{2}$
dengan melihat hasil selesai dan yang diminta soal yaitu $ \sqrt{a} -\sqrt{b}$ maka nilai a yaitu 1.000.001 dan b yaitu 2
6. Hitunglah $ \sqrt{54+14\sqrt{5}}+\sqrt{12-2\sqrt{35}}+\sqrt{32-10\sqrt{7}}=\cdots$
Untuk meyelesaikan soal ini konsep dasar yang kita pakai sama dengan konsep yang digunakan pada soal nomor 4 yaitu $ \sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{\left ( a+b \right )+2\sqrt{ab}}$ atau $ \sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{\left ( a+b \right )-2\sqrt{ab}}$
$ \sqrt{54+14\sqrt{5}}+\sqrt{12-2\sqrt{35}}+\sqrt{32-10\sqrt{7}}$
$ =\sqrt{54+2\sqrt{49\cdot 5}}+\sqrt{12-2\sqrt{7\cdot 5}}+\sqrt{32-2\sqrt{25\cdot 7}}$
$ =\sqrt{49}+\sqrt{5}+\sqrt{7}-\sqrt{5}+\sqrt{25}-\sqrt{7}$
$ =12$
7. Jika $ \left ( 3+4 \right )\left ( 3^2+4^2 \right )\left ( 3^4+4^4 \right )\left ( 3^8+4^8 \right )\left ( 3^{16}+4^{16} \right )\left ( 3^{32}+4^{32} \right )=\left ( 4^x-3^y \right )$, tentukan nilai $x-y=\cdots$
$ \left ( 3+4 \right )\left ( 3^2+4^2 \right )\left ( 3^4+4^4 \right )\left ( 3^8+4^8 \right )\left ( 3^{16}+4^{16} \right )\left ( 3^{32}+4^{32} \right )=\left ( 4^x-3^y \right )$
Ruas kiri pada soal diatas dengan perhiasan kreativitas sanggup kita selesaikan, soal sanggup kita rubah bentuk menjadi sebagai berikut;
$\left ( 4+3 \right )\left ( 4^2+3^2 \right )\left ( 4^4+3^4 \right )\left ( 4^8+3^8 \right )\left ( 4^{16}+3^{16} \right )\left ( 4^{32}+3^{32} \right )$
$=\left ( 4-3 \right ) \left ( 4+3 \right )\left ( 4^2+3^2 \right )\left ( 4^4+3^4 \right )\left ( 4^8+3^8 \right )\left ( 4^{16}+3^{16} \right )\left ( 4^{32}+3^{32} \right )$
$=\left ( 4^2-3^2 \right )\left ( 4^2+3^2 \right )\left ( 4^4+3^4 \right )\left ( 4^8+3^8 \right )\left ( 4^{16}+3^{16} \right )\left ( 4^{32}+3^{32} \right )$
$=\left ( 4^4-3^4 \right )\left ( 4^4+3^4 \right )\left ( 4^8+3^8 \right )\left ( 4^{16}+3^{16} \right )\left ( 4^{32}+3^{32} \right )$
$=\left ( 4^8-3^8 \right )\left ( 4^8+3^8 \right )\left ( 4^{16}+3^{16} \right )\left ( 4^{32}+3^{32} \right )$
$=\left ( 4^{16}-3^{16} \right )\left ( 4^{16}+3^{16} \right )\left ( 4^{32}+3^{32} \right )$
$=\left ( 4^{32}-3^{32} \right )\left ( 4^{32}+3^{32} \right )$
$=\left ( 4^{64}-3^{64} \right )$
$ x=64\ dan\ y=64 \Rightarrow x-y=0$
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagorasSaran atau kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait problem alternatif penyelesaian Uji Kompetensi Bentuk Akar Sekolah Menengan Atas Kurikulum 2013 sangat diharapkan😊CMIIW
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊
Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Gurunya Super Kreatif, Mengerjakan Perkalian Kaprikornus Kreatif;
Belum ada Komentar untuk "✔ Uji Kompetensi Bentuk Akar Sma Kurikulum 2013 - Soal Dan Pembahasan (1.2)"
Posting Komentar