✔ Uji Kompetensi Eksponen Sma Kurikulum 2013 - Soal Dan Pembahasan (1.1)
Soal dan pembahasan uji kompetensi ini sebagian sudah pernah dibahas pada postingan sebelumnya yaitu PR Matematika Anakku yang Duduk di Kelas 1 SMP, Kurikulum 2013... Gak salah niih? dan Kurikulum 2013: Uji Kompetensi Matematika Sekolah Menengah Pertama Kelas 7 sama dengan di Sekolah Menengan Atas Kelas 10. Kedua postingan itu diambil dari buku kurikulum 2013 sebelum di revisi, kini sesudah buku di revisi coba kembali kita kumpulkan soalnya dan kita diskusikan.
Diskusi yang berikut ini saya ambil dari Buku Siswa Matematika Kelas X Semester 1, pada uji kompetensi 1.1. Di buku itu bekerjsama ada 12 soal, tetapi disini yang dicoba untuk didiskusikan ialah mulai soal no.4 hingga no.12. Mari kita mulai:
4. Tentukan nilai dari: $ \frac{1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+...}{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+...}\ =...$
Coba kita selesaikan dengan pemisalan, misalkan:
deret $ 1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+...\ =\ A$ dan
deret $ 1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+...\ =\ B$
Sehingga sanggup kita tuliskan
$\begin{align}
A-B & = 2^{-4}+4^{-4}+6^{-4}+8^{-4}+... \\
A-B & = 2^{-4} \left ( 1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+... \right )\\
A-B & = 2^{-4} \left ( A \right ) \\
A-B & = \dfrac{1}{16} \left ( A \right ) \\
\frac{15}{16} \left ( A \right ) & = B \\
\frac{A}{B} & = \frac{16}{15}
\end{align}$
5. Sederhanakanlah: $ \frac{\left (a^{\frac{5}{3}}b^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{3}{2}}\right )}{\left (a^{\frac{7}{6}}b^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{2}{3}}b\right )}\ =...$
$ \frac{\left (a^{\frac{5}{3}}b^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{3}{2}}\right )}{\left (a^{\frac{7}{6}}b^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{2}{3}}b\right )}\ =...$
$ = \frac{ a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{2}}\ \left (a \cdot 1 - 1\cdot b\right )}{a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{2}}\left (a^{\frac{1}{2}}\cdot 1 - 1\cdot b^{\frac{1}{2}}\right )}$
$ = \frac{ \left (a - b\right )}{\left (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}\right )}$
$ = \frac{ \left (a - b\right )}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$
$ = \sqrt{a}+\sqrt{b}$
6. Tentukan nilai $ x $ yang memenuhi persamaan berikut:
$ a.\ 2^{x}=8$
$ b.\ 4^{x}=0,125$
$ c.\ \left ( \frac{2}{5} \right )^{x}=1$
$ a.\ 2^{x}=8$
$ 2^{x}=2^{3}$
$ x=3$
$ b.\ 4^{x}=0,125$
$ 2^{2x}=\frac{1}{8}$
$ 2^{2x}=2^{-3}$
$ 2x=-3$
$ x=\frac{-3}{2}$
$ c.\ \left ( \frac{2}{5} \right )^{x}=1$
$ \left ( \frac{2}{5} \right )^{x}=\left ( \frac{2}{5} \right )^{0}$
$ x\ =\ 0$
7.Tentukan hasil dari $ \frac{\left ( 2^{n+2} \right )^{2}-2^{2}\cdot 2^{2n}}{2^{n}\cdot 2^{n+2}}$
$ \frac{\left ( 2^{n+2} \right )^{2}-2^{2}\cdot 2^{2n}}{2^{n}\cdot 2^{n+2}}$
dengan memakai sifat-sifat bilangan berpangkat, sanggup kita peroleh:
$ \frac{\left ( 2^{n+2} \right )^{2}-2^{2}\cdot 2^{2n}}{2^{n}\cdot 2^{n+2}}$
$ = \frac{ 2^{2n+4}-2^{2+2n}}{2^{2n+2}}$
$ = \frac{ 2^{2n}\cdot 2^{4}-2^{2}\cdot 2^{2n}}{2^{2n}\cdot 2^{2}}$
$ = \frac{ 2^{2n}( 2^{4}-2^{2})}{2^{2n}(2^{2})}=\frac{ 2^{4}-2^{2}}{2^{2}}=\frac{ 16-4}{4}=3$
8. Misalkan Anda diminta menghitung $ 7^{64}$. Berapa banyak perkalian yang Anda lakukan untuk mendapat nilai akhirnya? Bandingkan jawabanmu dengan temanmu. Pemenangnya di antara kalian ialah yang sanggup mencari hasilnya dengan melaksanakan perkalian sesedikit mungkin. Coba tuliskan mekanisme mengalikan yang paling sedikit banyak perkaliannya untuk menghitung $ 7^{64}$. Apakah mekanisme tersebut sanggup dipergunakan untuk pangkat faktual berapapun juga?
Misalkan anda diminta menghitung $ 7^{64}$. Berapa banyak perkalian yang anda lakukan untuk mendapat nilai akhirnya? Bandingkan jawabanmu dengan temanmu. Pemenangnya di antara kalian ialah yang sanggup mencari hasilnya dengan melaksanakan perkalian sesedikit mungkin. Coba tuliskan mekanisme mengalikan yang paling sedikit banyak perkaliannya untuk menghitung $ 7^{64}$. Apakah mekanisme tersebut sanggup dipergunakan untuk pangkat faktual berapapun juga?
$ 7^{64}=\left ( 7^{2} \right )^{32}=\left (\left ( 7^{2} \right )^{2} \right )^{16}$
$ =\left (\left (\left ( 7^{2} \right )^{2} \right )^{2} \right )^{8}=\left (\left (\left (\left ( 7^{2} \right )^{2} \right )^{2} \right )^{2} \right )^{4}=\left (\left (\left (\left (\left ( 7^{2} \right )^{2} \right )^{2} \right )^{2} \right )^{2}\right )^{2}$
Ada sebanyak enam kali proses perkalian dan mekanisme ini sanggup dipergunakan untuk pangkat positif.
9. Berdasarkan sifat angka 7, tentukan angka terakhir (satuan) dari $ 7^{1234} + 7^{2341} + 7^{3412} + 7^{4123}$ tanpa menghitung tuntas.
Berdasarkan sifat angka 7, tentukan angka terakhir (satuan) dari $ 7^{1234} + 7^{2341} + 7^{3412} + 7^{4123}$ tanpa menghitung tuntas.
Untuk menjawab soal diatas coba kita analisa satuan perpangkatan bilangan 7.
$ 7^{1}=7$___satuannya ialah 7
$ 7^{2}=49$___satuannya ialah 9
$ 7^{3}=343$___satuannya ialah 3
$ 7^{4}=2401$___satuannya ialah 1
$ 7^{5}=716807$___satuannya ialah 7
$ 7^{6}=*****9$___satuannya ialah 9
$ 7^{7}=*****3$___satuannya ialah 3
Karena yang dibutuhkan hanya satuan, maka dari teladan bilangan diatas satuan akan kembali berulang sesudah periode keempat. Artinya;
Bilangan satuan $ 7^{1}=7^{5}=7^{9}=...$
Bilangan satuan $ 7^{2}=7^{6}=7^{10}=...$
Bilangan satuan $ 7^{3}=7^{7}=7^{11}=...$
Bilangan satuan $ 7^{4}=7^{8}=7^{12}=...$
Kesimpulan yang sanggup kita ambil adalah:
Jika pangkat bilangan 7 dibagi 4 sisa 1 satuannya ialah 7
Jika pangkat bilangan 7 dibagi 4 sisa 2 satuannya ialah 9
Jika pangkat bilangan 7 dibagi 4 sisa 3 satuannya ialah 3
Jika pangkat bilangan 7 dibagi 4 sisa 0 satuannya ialah 1
Kita kembali ke soal:
$ 7^{1234}$ satuannya ialah 9, alasannya ialah 1234 dibagi 4 sisa 2.
$ 7^{2341}$ satuannya ialah 7, alasannya ialah 2341 dibagi 4 sisa 1.
$ 7^{3412}$ satuannya ialah 1, alasannya ialah 3412 dibagi 4 sisa 0.
$ 7^{4123}$ satuannya ialah 3, alasannya ialah 4123 dibagi 4 sisa 3.
Sehingga:
$ 7^{1234} + 7^{2341} + 7^{3412} + 7^{4123}$
$ =9+7+1+3=20$
Satuannya ialah 0 (nol)
10. Tentukan angka satuan dari $ \left ( 6^{26} \right )^{62}$ menurut sifat angka 6, tanpa menghitung tuntas. Selanjutnya lakukan hal tersebut menurut sifat bilangan 2, 3, 4, 5, 8, 9.
Angka satuan dari $ \left ( 6^{26} \right )^{62}$ ialah 6.
Selanjutnya kita pilih soal yang tidak diminta yaitu untuk bilangan 7, soalnya menjadi angka satuan dari $ \left ( 7^{26} \right )^{62}$ menurut sifat angka 7.
$ \left ( 7^{26} \right )^{62}=7^{26\cdot 62}=7^{2\cdot 13\cdot 2\cdot31}=7^{4\cdot 13\cdot 31}$
Pangkat bilangan 7 ialah $ 4\cdot 13\cdot 31$ dan kalau $ 4\cdot 13\cdot 31$ dibagi 4 sisanya ialah 0 maka satuannya 1 (Seperti klarifikasi soal no.9)
Untuk 2, 3, 4, 5, 8, dan 9 diserahkan kepada pembaca.
11. Tunjukkan bahwa: $ 1^{2001}+2^{2001}+3^{2001}+...+2000^{2001}+2001^{2001}$ kelipatan 13.
$ a^{3}+b^{3}= \left (a+b \right) \left (a^{2} -ab+b^{2} \right)$
$ a^{5}+b^{5}= \left (a+b \right) \left (a^{4}-a^{3}b+a^{2}b^{2}-ab^{3}+b^{4} \right)$
Untuk n bilangan ganjil, kita peroleh persamaan:
$ a^{n}+b^{n}=\left ( a+b \right )\left ( a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}-...-ab^{n-2}+b^{n-1} \right)$
sehingga $ a^{n}+b^{n}$ akan selalu habis dibagi $ \left ( a+b \right )$ untuk n bilangan ganjil.
Kita misalkan soal menjadi $ P = 1^{2001}+2^{2001}+3^{2001}+...+2000^{2001}+2001^{2001}$
$ 1^{2001}+2001^{2001}$ habis dibagi $ \left (1+2001 \right)$
sanggup kita tuliskan
$ 1^{2001}+2001^{2001}= \left(1+2001 \right) \cdot \left(P_{1} \right)$
$ 2^{2001}+2000^{2001}$ habis dibagi $ \left (2+2000 \right)$
sanggup kita tuliskan
$ 2^{2001}+2000^{2001}= \left(2+2002 \right )\cdot \left (P_{2} \right)$
$ 3^{2001}+1999^{2001}$ habis dibagi $ \left (3+1999 \right)$
sanggup kita tuliskan
$ 3^{2001}+1999^{2001}= \left ( 3+1999 \right )\cdot \left (P_{3} \right)$
$ . . .$
$ 1000^{2001}+1002^{2001}$ habis dibagi $ \left ( 1000+1002 \right )$
sanggup kita tuliskan
$ 1000^{2001}+1002^{2001}= \left ( 1000+1002 \right ) \cdot \left (P_{1000} \right)$
$ 1001^{2001}$ sanggup kita tuliskan $ 1001^{2001}= \left ( 1001 \right ) \cdot \left (1001^{2000} \right )$
Jika
$ P = 1^{2001}+2^{2001}+3^{2001}+\cdots+2000^{2001}+2001^{2001}$
maka
$ P = 1^{2001}+2001^{2001}+2^{2001}+2000^{2001}+\cdots+1002^{2001}+1001^{2001}$
$ P = \left ( 1+2001 \right ) \cdot (P_{1}) + \left ( 2+2000 \right ) \cdot (P_{2}) +\cdots+ \left ( 1001 \right ) \cdot \left (1001^{2000} \right )$
$ P = \left ( 2002 \right ) \cdot (P_{1}) + \left ( 2002 \right ) \cdot (P_{2}) + \cdots+ \left ( 1001 \right ) \cdot \left (1001^{2000} \right )$
$ P = 1001\cdot \left [ \left ( 2 \right ) \cdot (P_{1}) + \left ( 2 \right ) \cdot (P_{2}) + \cdots+ \left (1001^{2000} \right ) \right ]$
$ P = 13 \cdot 77 \cdot \left [ \left ( 2 \right ) \cdot (P_{1}) + \left ( 2 \right ) \cdot (P_{2}) +\cdots+\left (1001^{2000} \right ) \right ]$
Karena $ P $ ialah bilangan kelipatan 13 maka $ P $ habis dibagi 13.
12. Bagaimana cara termudah untuk mencari $ \frac{3^{2008}\left ( 10^{2013}+5^{2012}\times 2^{2011} \right )}{5^{2012}\left ( 6^{2010}+3^{2009}\times 2^{2008} \right )}$
pertanyaan menyerupai ini akan memperlihatkan banyak proses alasannya ialah gampang itu sifatnya relatif, kita coba apakah cara berikut Anda anggap mudah.
$ \frac{3^{2008}\left ( 10^{2013}+5^{2012}\times 2^{2011} \right )}{5^{2012}\left ( 6^{2010}+3^{2009}\times 2^{2008} \right )}$
$ = \frac{3^{2008}\left ( 2^{2013}\times 5^{2013}+5^{2012}\times 2^{2011} \right )}{5^{2012}\left ( 3^{2010}\times 2^{2010}+ 3^{2009}\times 2^{2008} \right )}$
$ = \frac{3^{2008}\times 2^{2011}\left ( 2^{2}\times 5^{2013}+5^{2012} \right )}{5^{2012}\times 2^{2008}\left ( 3^{2010}\times 2^{2}+ 3^{2009}\right )}$
$ = \frac{3^{2008}\times 2^{2011}\times 5^{2012}\left ( 2^{2}\times 5^{1}+1 \right )}{5^{2012}\times 2^{2008}\times 3^{2009}\left ( 3^{1}\times 2^{2}+ 1\right )}$
$ = \frac{2^{3}\left ( 2^{2}\times 5^{1}+1 \right )}{ 3\left ( 3^{1}\times 2^{2}+ 1\right )}$
$ = \frac{8\left ( 21 \right )}{ 3\left ( 3\times 4+ 1\right )}=\frac{168}{3\left ( 12+ 1\right )}=\frac{168}{ 3\left ( 13\right )}=\frac{56}{13}$
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagorasSaran atau kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait problem alternatif penyelesaian Uji Kompetensi Bentuk Akar Sekolah Menengan Atas Kurikulum 2013 sangat diharapkan😊CMIIW
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊
Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Bagaimana perkalian dikerjakan dengan cara pilar (pintar bernalar);
Belum ada Komentar untuk "✔ Uji Kompetensi Eksponen Sma Kurikulum 2013 - Soal Dan Pembahasan (1.1)"
Posting Komentar