✔ Matematika Dasar: Berguru Penjumlahan, Pengurangan Dan Perkalian Matriks

Operasi aljabar pada matriks antara lain penjumlahan matriks, pengurangan matriks, perkalian bilangan real dengan sebuah matriks dan perkalian dua matriks.

Mari kita coba diskusikan dasar-dasar pada operasi hitung matriks ini. Seperti yang disampaikan pada pengenalan matriks sebelumnya bahwa dalam mempelajari matriks, kita harus teliti. Karena kalau salah satu unsur saja maka akan mengakibatkan kesalahan pada komponen yang lainnya maka akan memaksa kita untuk melaksanakan penghitungan ulang, dan tentu itu akan sangat membutuhkan waktu yang tidak sedikit.

Operasi hitung pada matriks tidaklah sulit, hanya butuh ketelitian ekstra dalam perhitungannya. Dari semua operasi hitung yang akan kita diskusikan, operasi perkalian dua matriks yang memerlukan energi lebih besar daripada operasi hitung lainnya. Karena kita akan mengkombinasikan operasi perkalian dan penjumlahan. Tapi itu bukan sebuah dilema yang berarti, dengan banyak berlatih melaksanakan perkalian dua matriks, maka kita niscaya akan terbiasa dalam elakukan operasi perhitungan dua matriks atau lebih.

Pada Operasi hitung matriks, kenapa tidak ada pembagian? ini terjadi sebab pada perkalian matriks tidak berlaku bersifat komutatif [*Jika sifat komutatif berlaku hanya untuk matriks khusus].

Semisalkan bentuk $ \frac{A}{B} = \frac{1}{B} \times A \neq A \times \frac{1}{B}$.
Dari bentuk inilah maka operasi hitung pembagian pada matriks tidak ada. Yang ada nantinya yakni bentuk invers dari matriks dikalikan dengan matriks bukan inversnya.

Penjulahan Dua Matriks

Misalkan $A$ dan $B$ yakni matriks berordo $ m \times n$ dengan elemen-elemen $ a_{ij}$ dan $ b_{ij} $.

Jika matriks $C$ yakni jumlah matriks $A$ dengan matriks $B$, ditulis $C = A + B$,
matriks $C$ juga berordo $ m \times n$ dengan elemen-elemen ditentukan oleh: $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ [untuk semua $i$ dan $j$].

Sifat-sifat penjumlahan pada matriks

• Komutatif: $A + B = B + A$
• Assosiatif: $(A + B) + C = A + (B + C)$
• penjumlahan berulang: $ kA = \underbrace{A + A + A + ... + A}_{\text{sebanyak } k} $

Pengurangan dua matriks

Misalkan $A$ dan $B$ yakni matriks berordo $ m \times n$ dengan elemen-elemen $ a_{ij}$ dan $b_{ij}$.

Jika matriks $C$ yakni pengurangan matriks $A$ dengan matriks $B$, ditulis $C = A - B$,
matriks $C$ juga berordo $ m \times n$ dengan elemen-elemen ditentukan oleh: $ c_{ij} = a_{ij} - b_{ij}$ [untuk semua $i$ dan $j$].

Catatan:
Dua matriks sanggup dijumlahkan atau dikurangkan kalau dan hanya kalau mempunyai ordo yang sama. Ordo matriks hasil penjumlahan atau pengurangan dua matriks sama dengan ordo matriks yang dijumlahkan.

Untuk lebih memahami maksud dari teori di atas, eksklusif saja kita simak contoh-contoh berikut:

Contoh 1:
Diketahui matriks -matriks berikut:
$A = \left( \begin{matrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 4 & -2 \end{matrix} \right)$
$B = \left( \begin{matrix} 5 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} \right) $
$C = \left( \begin{matrix} 3 & 2 \\ -1 & 6 \end{matrix} \right)$
$D = \left( \begin{matrix} x & -1 \\ 2 & y + 3 \end{matrix} \right) $
Tentukan hasil dari:
a). $ A + B$
b). $ A - B$
c). $ A + C$
d). $ C + D$

Alternatif Pembahasan: show

a). $ A + B $
$ \begin{align}
A + B & = \left( \begin{matrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 4 & -2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 5 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 2 + 5 & -1 + 2 & 3 + (-1) \\ 1 + 2 & 4 + 1 & (-2) + 3 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 7 & 1 & 2 \\ 3 & 5 & 1 \end{matrix} \right)
\end{align} $

b). $ A - B $
$ \begin{align}
A - B & = \left( \begin{matrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 4 & -2 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 5 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 2 - 5 & -1 - 2 & 3 - (-1) \\ 1 - 2 & 4 - 1 & (-2) - 3 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} -3 & -3 & 4 \\ -1 & 3 & -5 \end{matrix} \right)
\end{align} $

c). $ A + C $
Operasi hitung $ A + C$ tidak sanggup dilakukan sebab ordonya berbeda.

d). $ C + D $
$ \begin{align}
C + D & = \left( \begin{matrix} 3 & 2 \\ -1 & 6 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x & -1 \\ 2 & y + 3 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 3 + x & 2 + (-1) \\ (-1) + 2 & 6 + (y + 3) \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} x + 3 & 1 \\ 1 & y + 9 \end{matrix} \right)
\end{align} $

Perkalian Suatu Bilangan Real dengan Matriks

Perklaian suatu bilangan real dengan sebuah matriks serng juga disebutkan perkalian skalar.

Misalkan $A$ yakni suatu matriks berordo $ m \times n$ dengan elemen-elemen $ a_{ij}$ dan $ k$ yakni suatu bilangan real. Matriks $C$ yakni hasil perkalian bilangan real $ k$ terhadap matriks $A$, dinotasikan: $ C = k.A$ bila matriks $C$ berordo $ m \times n$ dengan elemen-elemennya ditentukan oleh: $ c_{ij} = k.a_{ij} $ [untuk semua $ i$ dan $ j$].

Contoh 2:
Diketahui matriks -matriks berikut :
$ A = \left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right)$,
$ B = \left( \begin{matrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) $.

Tentukan hasil dari :
a). $ 3A $
b). $ -2B $
c). $ A + 3B $
d). $ 2A - 3B $

Alternatif Pembahasan: show

a). $ 3A $
$ \begin{align}
3A & = 3\left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 3.2 & 3.(-1) \\ 3.1 & 3.4 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 6 & -3 \\ 3 & 12 \end{matrix} \right)
\end{align} $

b). $ -2B $
$ \begin{align}
-2 B & = -2 \left( \begin{matrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} -2.5 & -2.2 \\ -2.2 & -2.1 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} -10 & -4 \\ -4 & -2 \end{matrix} \right)
\end{align} $

c). $ A + 3B $
$ \begin{align}
A + 3B & = \left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right) + 3\left( \begin{matrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 15 & 6 \\ 6 & 3 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 2 + 15 & -1 + 6 \\ 1 + 6 & 4 + 3 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 17 & 5 \\ 7 & 7 \end{matrix} \right)
\end{align} $

d). $ 2A - 3B $
$ \begin{align}
2A - 3B & = 2\left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right) - 3\left( \begin{matrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 4 & -2 \\ 2 & 8 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 15 & 6 \\ 6 & 3 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 4 - 15 & -2 - 2 \\ 2 - 2 & 8 - 1 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} -11 & -4 \\ 0 & 7 \end{matrix} \right)
\end{align} $

Perkalian Dua Matriks

Jika $C$ yakni matriks hasil perkalian matriks $A_{m \times n} $ dan matriks $B_{n \times p}$, dinotasikan $C = A \times B$, maka:

• Matriks $C$ berordo $ m \times p$.
• Elemen-elemen matriks $C$ pada baris ke-$i$ dan kolom ke-$j$, dinotasikan $c_{ij}$, diperoleh dengan cara mengalikan elemen baris ke-$i$ matriks A dan elemen kolom ke-$j$ matriks B, lalu dijumlahkan.
• Dinotasikan $ c_{ij} = a_{i1}.b_{1j} + a_{i2}.b_{2j} + a_{i3}.b_{3j} + ... + a_{in}.b_{nj} $

Catatan :

• Pada perkalian dua matriks $ AB $ akibatnya belum tentu sama dengan $ BA $
• Dua matriks sanggup dikalikan kalau dan hanya kalau banyak kolom matriks pertama [*disebelah kiri] sama dengan banyak baris matriks kedua [*disebelah kanan].

Sifat-sifat perkalian pada matriks

• Assosiatif: $(A \times B) \times C = A \times (B \times C) $
• Distributif: $ A \times (B+C) = A \times B + A \times C $
• Pangkat: $ A^n = \underbrace{A \times A \times A \times ... \times A}_{n \text{ faktor}}$

Contoh 3:
Diketahui matriks -matriks berikut:
$ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right)$
$ B = \left( \begin{matrix} e & f \\ g & h \end{matrix} \right)$
$ C = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} \right)$
$ D = \left( \begin{matrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right)$

$ P = \left( \begin{matrix} -1 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right)$
$ Q = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ -3 & 5 \\ 6 & -2 \end{matrix} \right) $

Tentukan hasil dari :
a). $ AB$
b). $ CD$
c). $ DC$
d). $ PQ$
e). $ PC$

Alternatif Pembahasan: show

a). $ AB $
$ \begin{align}
AB & = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} e & f \\ g & h \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} \text{baris 1 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 1 } \times \text{ kolom 2} \\ \text{baris 2 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 2 } \times \text{ kolom 2}\end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} a.e+b.g & a.f + b.h \\ c.e + d.g & c.f + d.h \end{matrix} \right)
\end{align} $

b). $ CD $
$ \begin{align}
CD & = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} \text{baris 1 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 1 } \times \text{ kolom 2} \\ \text{baris 2 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 2 } \times \text{ kolom 2}\end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 1.5+2.7 & 1.6+2.8 \\ 3.5 + 4.7 & 3.6 + 4.8 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 5+14 & 6+16 \\ 15 + 28 & 18 + 32 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{matrix} \right)
\end{align} $

c). $ DC $
$ \begin{align}
DC & = \left( \begin{matrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} \text{baris 1 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 1 } \times \text{ kolom 2} \\ \text{baris 2 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 2 } \times \text{ kolom 2}\end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 5.1+6.3 & 5.2+6.4 \\ 7.1 + 8.3 & 7.2 + 8.4 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 5+18 & 10+24 \\ 7 + 24 & 14 + 32 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 23 & 24 \\ 31 & 46 \end{matrix} \right)
\end{align} $

terlihat bahwa hasil $ CD \neq DC $

d). $ PQ $
$ \begin{align}
PQ & = \left( \begin{matrix} -1 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ -3 & 5 \\ 6 & -2 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} \text{baris 1 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 1 } \times \text{ kolom 2} \\ \text{baris 2 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 2 } \times \text{ kolom 2}\end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} -1.1 + 3.(-3) + 2.6 & -1.2 + 3.5 + 2.(-2) \\ 1.1 + 1. (-3) + 1.6 & 1.2 + 1. 5 + 1.(-2) \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} -1 + (-9) + 12 & -2 + 15 + (-4) \\ 1 + (-3) + 6 & 2 + 5 + (-2) \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 2 & 9 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right)
\end{align} $

e). $ PC $
operasi $ PC $ tidak sanggup dihitung sebab tidak memenuhi syarat ordonya, yaitu banyak kolom matriks $ P $ [$3$ kolom] tidak sama dengan banyak baris matriks $ C $ [ada 2 baris].

Diskusi sederhana perihal operasi hitung matriks diatas masih tergolong sangat sederhana. Tetapi apa yang kita diskusikan di atas sudah sanggup menjadi modal kita untuk menaiki anak tangga berikutnya untuk lebih mengenal dunia matriks. Jika tertarik untuk mencoba menjawab soal-soal masuk perguruan tinggi tinggi negeri perihal matriks, apa yang disampaikan di atas mungkin belum cukup.

Dengan menambah frekuensi latihan dan berlatih operasi hitung pada matriks, maka teman-teman niscaya akan sanggup untuk melahap semua soal-soal yang berkaitan dengan operasi hitung matriks menyerupai operasi penjumlahan, pengurangan, kali skalar, dan kali dua matriks. [Konsep Matematika]

Video pilihan khusus untuk Anda 😂 Masih menganggap matematika hanya hitung-hitungan semata, mari kita lihat kreativitas siswa ini;

Bagikan Artikel ini