✔ Bank Soal Dan Pembahasan Matematika Dasar Limit Tak Hingga
Catatan calon guru yang kita diskusikan dikala ini akan membahas perihal Matematika Dasar Limit Tak hingga. Tetapi untuk melengkapi matematika dasar limit fungsi, ada dua bahan limit yang juga harus kita pahami yaitu Limit Fungsi Aljabar dan Limit Fungsi Trigonometri. Penerapan limit fungsi dalam kehidupan sehari-hari mungkin tidak terlihat pribadi tetapi limit fungsi ini merupakan dasar dalam mempelajari turunan dan hingga kepada integral. Mempelajari dan memakai aturan-aturan pada limit tak hingga juga sangatlah mudah, jikalau Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan dibawah ini, maka anda akan dengan gampang memahami soal-soal limit tak hingga dan menemukan solusinya.
Limit fungsi ini termasuk bahan yang sangat penting dalam kehidupan kita sehari-hari. Hanya saja kita tidak sadar ternyata sedang memakai konsep limit fungsi.
Contoh sederhananya ketika kita mengukur berat tubuh dan kesudahannya terlihat yaitu $70,5\ kg$. Hasil $70,5\ kg$ ini bergotong-royong belum hasil pengukuran yang paling tepat tetapi sudah sanggup mewakili hasil pengukuran, alasannya yaitu berat tubuh kita yaitu mendekati $70,5\ kg$. Kata "mendekati" yaitu salah satu kata kunci dalam mencar ilmu limit fungsi.
Limit Fungsi Aljabar ini merupakan dasar atau modal kita dalam mencoba menuntaskan problem yang berkaitan dengan Limit Fungsi Trigonometri, Limit Fungsi Tak hingga, Diferensial Fungsi (Turunan) dan hingga kepada Integral Fungsi.
Beberapa sampel soal Limit Fungsi Tak hingga untuk kita diskusikan kita sadur dari soal-soal SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri), soal SMMPTN (Seleksi Mandiri Masuk Perguruan Tinggi Negeri), soal UN (Ujian Nasional) atau soal ujian yang dilaksanakan di sekolah.
Pembahasan limit fungsi Tak hingga yang kita jabarkan di bawah ini masih jauh dari sempurna, jadi jikalau ada masukan yang sifatnya membangun silahkan disampaikan.
Tetapi sebelumnya problem perihal Limit tak hingga ini berawal dari sebuah pertanyaan siswa yang ditanyakan dengan bahasa inggris, sesuai dengan aktivitas sekolah "English Day".
Namanya Ayu Alisia Panjaitan, orangnya bagus manis sopan dan suka menolong, oh iya dan juga suka menabung... "Sir, i have a problem with limit function from SIMAK UI 2009".
Kira-kira menyerupai itulah pertanyaan yang diberikan oleh Ayu dalam Bahasa Inggris, dan pertanyaan yang diberi yaitu sebagai berikut:
Nilai $ \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{4x^2+8x}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x} \right ) \cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{5}{2} \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & \dfrac{3}{2} \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & \dfrac{1}{2}
\end{align}$
Sebelum kita lanjutkan diskusi perihal limit tak hingganya, sedikit kita buat coretan sederhana teorema limit tak hingga;
- $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{a}{x^{n}}=\text{tidak mempunyai nilai limit}$; untuk $n$ bilangan orisinil ganjil
- $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{a}{x^{n}}= \infty $; untuk $n$ bilangan orisinil genap
- $\lim\limits_{x \to \infty} ax^{n}= \infty $; untuk $n$ bilangan asli
- $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{k}{x^{n}}= 0 $; untuk $n$ bilangan asli
- $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{ax^m + a_1x^{m-1} + ...}{bx^n + b_1 x^{n-1} + ....}=\infty $; untuk $m \gt n$ bilangan asli
- $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{ax^m + a_1x^{m-1} + ...}{bx^n + b_1 x^{n-1} + ....}=\dfrac{a}{b}$; untuk $m=n$ bilangan asli
- $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{ax^m + a_1x^{m-1} + ...}{bx^n + b_1 x^{n-1} + ....}=0$; untuk $m \lt n$ bilangan asli
- $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{ax^{2} + qx + r } = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$
- $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{px^{2} + qx + r } = + \infty $; untuk $a \gt p$
- $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{px^{2} + qx + r } = - \infty $; untuk $a \lt p$
- $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt[n]{ax^{n} + bx^{n-1} + \cdots } - \sqrt[n]{ax^{n} + qx^{n-1} + \cdots } = \dfrac{b-q}{ n \cdot \sqrt[n]{a^{n-1}}}$
- $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt[n]{ax^{n} + bx^{n-1} + \cdots } - \sqrt[n]{px^{n} + qx^{n-1} + \cdots } = \infty$; untuk $a \gt p$
- $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt[n]{ax^{n} + bx^{n-1} + \cdots } - \sqrt[n]{px^{n} + qx^{n-1} + \cdots } = 0$; untuk $a \lt p$
- $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{4x^{2} -6x +9 } - \sqrt{4x^{2} + 9x + 1 }$
$\begin{align}
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{\left( 2x-\frac{3}{2} \right)^{2} }-\sqrt{\left( 2x+\frac{9}{4} \right)^{2} } \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \left( 2x-\frac{3}{2} \right)- \left( 2x+\frac{9}{4} \right) \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( 2x-\frac{3}{2} - 2x-\frac{9}{4} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( -\frac{3}{2} -\frac{9}{4} \right ) \\
& = -\dfrac{15}{4}
\end{align}$ - $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{4x^2+8x}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x}$
$\begin{align}
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{\left( 2x+\frac{8}{4} \right)^{2} }-\sqrt{\left( x \right)^{2} }-\sqrt{\left( x+\frac{1}{2} \right)^{2} } \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \left( 2x+2 \right)- \left( x \right) - \left( x+\frac{1}{2} \right) \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( 2x+2 - x - x-\frac{1}{2} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( 2 -\frac{1}{2} \right ) \\
& = \dfrac{3}{2}
\end{align}$
1. Soal SIMAK UI 2009 Kode 914 (*Soal Lengkap)
Nilai $\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{4x^2+8x}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x} \right ) \cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{5}{2} \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & \dfrac{3}{2} \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & \dfrac{1}{2}
\end{align}$
Penyelesaian soal yag kita tampilkan yaitu hasil analisis oleh Heryanto Simatupang;
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{4x^2+8x}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{4x^2+8x}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{4\left (x^2+2x \right )}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( 2 \sqrt{\left (x^2+2x \right )}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{x^2+2x}+ \sqrt{x^2+2x }-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{x^2+2x}- \sqrt{x^2+1 } +\sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2+x} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{x^2+2x}- \sqrt{x^2+1 }\right ) +\lim_{x\rightarrow \infty }\left (\sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2+x} \right ) \\
& = \dfrac{2-0}{2\sqrt{1}}+\dfrac{2-1}{2\sqrt{1}} \\
& = 1+ \dfrac{1}{2} \\
& = \dfrac{3}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ \dfrac{3}{2}$
2. Soal UM UGM 2003 (*Soal Lengkap)
Nilai dari limit fungsi $ \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{2x^2+5x+6}-\sqrt{2x^2+2x-1}\right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{3}{2}\sqrt{2} \\
(B)\ & \dfrac{3}{4}\sqrt{2} \\
(C)\ & - \dfrac{3}{2}\sqrt{2} \\
(D)\ & - \dfrac{3}{4}\sqrt{2} \\
(E)\ & 3
\end{align}$
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{2x^2+5x+6}-\sqrt{2x^2+2x-1}\right ) \\
& = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& = \dfrac{5-2}{2\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{3}{2\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{3\sqrt{2}}{4} \\
& = \dfrac{3}{4}\sqrt{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ \dfrac{3}{4}\sqrt{2}$
3. Soal UN Sekolah Menengan Atas 2020 (*Soal Lengkap)
Nilai dari limit fungsi $\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{4x^2+4x-3}- \left (2x-5 \right ) \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -6 \\
(B)\ & -4 \\
(C)\ & -1 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 6
\end{align}$
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{4x^2+4x-3}- \left (2x-5 \right ) \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{4x^2+4x-3}- \left (2x-5 \right ) \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{4x^2+4x-3}-\sqrt{ \left (2x-5 \right )^{2}} \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{4x^2+4x-3}-\sqrt{4x^2-20x+25} \right ) \\
& =\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& =\dfrac{4+20}{2\sqrt{4}} \\
& =\dfrac{24}{4} \\
& =6
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ 6$
4. Soal SIMAK UI 2010 Kode 203 (*Soal Lengkap)
$ \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{64x^2+ax+7}-8x+b \right )= \dfrac{3}{2} $.
Jika $a$ dan $b$ bilangan bundar positif, maka nilai $a+b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 5 \\
(B)\ & 9 \\
(C)\ & 12 \\
(D)\ & 16 \\
(E)\ & 24
\end{align}$
$\begin{align}
\dfrac{3}{2} & = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{64x^2+ax+7}-8x+b \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{64x^2+ax+7}-\left (8x-b \right ) \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{64x^2+ax+7}-\sqrt{\left (8x-b \right )^{2}}\right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{64x^2+ax+7}-\sqrt{64x^2-16bx+b^{2}}\right ) \\
& =\dfrac{a+16b}{2\sqrt{64}} \\
\dfrac{3}{2} & =\dfrac{a+16b}{16} \\
24 & = a+16b
\end{align}$
Karena $a$ dan $b$ yaitu bilangan bundar positif maka nilai $a$ dan $b$ yang memenuhi persamaan $a+16b= 24$ yaitu dikala $b=1$ dan $a=8$, maka $a+b=9$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ 9$
5. Soal SIMAK UI 2012 Kode 524 (*Soal Lengkap)
$ \lim\limits_{x \to \infty} \left ( 5^{x}+5^{3x} \right )^{\dfrac{1}{x}}= \cdots $.
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 10 \\
(D)\ & 25 \\
(E)\ & 125
\end{align}$
Soal ini ada keunikan alasannya yaitu rumus-rumus di atas tidak ada membahas yang menyerupai ini, jadi untuk soal ini kita coba dengan manipulasi aljabar;
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left( 5^{x}+5^{3x} \right)^{\frac{1}{x}} \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left( 5^{3x} \left( \dfrac{1}{5^{2x}}+1 \right) \right)^{\frac{1}{x}} \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left( 5^{3x} \right)^{\frac{1}{x}} \left( \dfrac{1}{5^{2x}}+1 \right)^{\frac{1}{x}}\\
& =\lim\limits_{x \to \infty} 5^{3} \left( \dfrac{1}{5^{2x}}+1 \right)^{\frac{1}{x}}\\
& = 125 \left( \dfrac{1}{5^{\infty}}+1 \right)^{\frac{1}{\infty}}\\
& = 125 \left( 0 +1 \right)^{0} \\
& = 125
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ 125$
6. Soal SIMAK UI 2010 Kode 508 (*Soal Lengkap)
$ \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{2^{x+1}-3^{x-2}+4^{x+1}}{2^{x-1}-3^{x+1}+4^{x-1}}= \cdots $.
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{16} \\
(B)\ & \dfrac{1}{8} \\
(C)\ & \dfrac{1}{4} \\
(D)\ & 16 \\
(E)\ & 32
\end{align}$
Soal ini ada keunikan alasannya yaitu rumus-rumus di atas dan yang dibahas di buku-buku tidak ada membahas yang menyerupai ini, jadi untuk soal ini kita coba dengan manipulasi aljabar;
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{2^{x+1}-3^{x-2}+4^{x+1}}{2^{x-1}-3^{x+1}+4^{x-1}} \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{2^{x} \cdot 2^{1} - 3^{x} \cdot 3^{-2}+ 4^{x} \cdot 4^{1}}{2^{x} \cdot 2^{-1}-3^{x} \cdot 3^{1}+4^{x} \cdot 4^{-1}} \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{2^{x} \cdot 2 - 3^{x} \cdot \dfrac{1}{9} + 4^{x} \cdot 4}{2^{x} \cdot \dfrac{1}{2} -3^{x} \cdot 3+4^{x} \cdot \dfrac{1}{4}} \cdot \dfrac{\dfrac{1}{4^{x}}}{\dfrac{1}{4^{x}}} \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{2^{x}}{4^{x}} \cdot 2 - \dfrac{3^{x}}{4^{x}} \cdot \dfrac{1}{9} + \dfrac{4^{x}}{4^{x}} \cdot 4}{\dfrac{2^{x}}{4^{x}} \cdot \dfrac{1}{2} - \dfrac{3^{x}}{4^{x}} \cdot 3+ \dfrac{4^{x}}{4^{x}} \cdot \dfrac{1}{4}} \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{1}{2^{x}} \cdot 2 - \left (\dfrac{3}{4} \right )^{x} \cdot \dfrac{1}{9} + 4}{\dfrac{1}{2^{x}} \cdot \dfrac{1}{2} - \left (\dfrac{3}{4} \right )^{x} \cdot 3+ \dfrac{1}{4}} \\
& =\dfrac{\dfrac{1}{\infty} \cdot 2 - \left (\dfrac{3}{4} \right )^{\infty} \cdot \dfrac{1}{9} + 4}{\dfrac{1}{\infty} \cdot \dfrac{1}{2} - \left (\dfrac{3}{4} \right )^{\infty} \cdot 3+ \dfrac{1}{4}} \\
& =\dfrac{0 \cdot 2 - 0 \cdot \dfrac{1}{9} + 4}{0 - 0 + \dfrac{1}{4}} \\
& =\dfrac{4}{\dfrac{1}{4}}=16
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ 16$
7. Soal SIMAK UI 2010 Kode 206 (*Soal Lengkap)
$\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^2+3x}- x \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & \dfrac{3}{2} \\
(D)\ & 3 \\
(E)\ & \infty
\end{align}$
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^2+3x}- x \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^2+3x}- \sqrt{x^2} \right ) \\
& =\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& =\dfrac{3-0}{2\sqrt{1}} \\
& =\dfrac{3}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ \dfrac{3}{2}$
8. Soal SIMAK UI 2010 Kode 206 (*Soal Lengkap)
$\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \left ( 2\sqrt{x}+1 \right ) - \sqrt{4x - 3\sqrt{x}+2} \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & - \infty \\
(B)\ & -\dfrac{3}{4} \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & \dfrac{7}{4} \\
(E)\ & \infty
\end{align}$
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \left ( 2\sqrt{x}+1 \right ) - \sqrt{4x - 3\sqrt{x}+2} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{\left ( 2\sqrt{x}+1 \right )^{2}} - \sqrt{4\sqrt{x} - 3\sqrt{x}+2} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{ \left (2\sqrt{x} \right )^{2}+2 \left (2\sqrt{x} \right )+1} - \sqrt{\left (2\sqrt{x} \right )^{2} - \dfrac{3}{2} \left (2\sqrt{x} \right )+2} \right ) \\
& \text{misal:}\ 2\sqrt{x}=m,\ \text{karena}\ x \to \infty\ \text{maka}\ m \to \infty \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{ m^{2}+2 m+1} - \sqrt{m^{2} - \dfrac{3}{2} m+2} \right ) \\
& =\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& =\dfrac{2+\dfrac{3}{2}}{2\sqrt{1}} \\
& =\dfrac{\dfrac{7}{2}}{2}=\dfrac{7}{4}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ \dfrac{7}{4}$
9. Soal SBMPTN 2020 Kode 106 (*Soal Lengkap)
$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x^{4}\ sin \left (\dfrac{1}{x}\right )+x^{2}}{1+x^{3}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \text{Tidak ada limitnya} \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & - \infty \\
(E)\ & \infty
\end{align}$
Untuk menuntaskan soal limit ini kita gunakan sedikit manipulasi aljabar dan bekerjasama sedikit dengan limit fungsi trigonometri.
Misalkan $\dfrac{1}{x}=m$ sehingga $\dfrac{1}{m}=x$, alasannya yaitu $x \to \infty$ maka $m \to 0$.
Soal $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x^{4}\ sin\left (\dfrac{1}{x} \right )+x^{2}}{1+x^{3}}$ sanggup kita tuliskan menjadi
$\begin{align}
& \lim\limits_{m \to 0} \dfrac{\left (\dfrac{1}{m} \right )^{4}\ sin\ m+\left (\dfrac{1}{m} \right )^{2}}{1+\left (\dfrac{1}{m} \right )^{3}} \\
& = \lim\limits_{m \to 0} \dfrac{\dfrac{1}{m^{4}}\ sin\ m+\dfrac{1}{m^{2}}}{1+\dfrac{1}{m^{3}}} \\
& = \lim\limits_{m \to 0} \dfrac{\dfrac{sin\ m}{m^{4}}+\dfrac{1}{m^{2}}}{1+\dfrac{1}{m^{3}}} \cdot \dfrac{m^{3}}{m^{3}} \\
& = \lim\limits_{m \to 0} \dfrac{\dfrac{sin\ m}{m}+m}{m^{3}+1} \\
& = \dfrac{1+0}{0+1}\\
& = 1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 1$
10. Soal STIS 2020 (*Soal Lengkap)
$\lim\limits_{x \to \infty} \left (2+ \dfrac{2}{2+\dfrac{2}{2+\dfrac{2}{x}}} \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{3}{8} \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & \dfrac{8}{3} \\
(D)\ & 3 \\
(E)\ & \infty
\end{align}$
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left (2+ \dfrac{2}{2+\dfrac{2}{2+\dfrac{2}{x}}} \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left (2+ \dfrac{2}{2+\dfrac{2}{2+\dfrac{2}{\infty}}} \right ) \\
& = \left (2+ \dfrac{2}{2+\dfrac{2}{2+0}} \right ) \\
& = \left (2+ \dfrac{2}{2+1} \right ) \\
& = \left (2+ \dfrac{2}{3} \right ) \\
& = \left (2 \dfrac{2}{3} \right ) \\
& = \dfrac{8}{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ \dfrac{8}{3}$
11. Soal UMB-PT 2013 Kode 172 (*Soal Lengkap)
Jika $S_{n}$ yaitu jumlah $n$ suku pertama dari barisan aritmetika, maka $\lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{S_{3n}}{S_{n}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 60 \\
(B)\ & 80 \\
(C)\ & 100 \\
(D)\ & 130 \\
(E)\ & 170
\end{align}$
Dengan sumbangan sedikit dari teorema limit tak hingga dimana $\lim\limits_{x \to \infty } \dfrac{1}{x}= 0$ dan Jumlah $n$ suku pertama pada barisan aritmetika yaitu $S_{n}=\dfrac{n}{2} \left(2a+(n-1)b \right)$, sehingga:
$\begin{align}
\lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{S_{3n}}{S_{n}} & = \lim\limits_{x \to \infty }\dfrac{\dfrac{3n}{2} \left(2a+(3n-1)b \right)}{\dfrac{n}{2} \left(2a+(n-1)b \right)} \\
& = \lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{3 \left(2a+ 3bn-b \right)}{ \left(2a+bn-b \right)} \\
& = \lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{ 6a+ 9bn-3b }{ 2a+bn-b } \times \dfrac{ \dfrac{1}{n} }{ \dfrac{1}{n}} \\
& = \lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{ \dfrac{6a}{n}+ \dfrac{9bn}{n}-\dfrac{3b}{n} }{ \dfrac{2a}{n}+\dfrac{bn}{n}-\dfrac{b}{n} } \\
& = \dfrac{ \lim\limits_{n \to \infty } \dfrac{6a}{n}+ \lim\limits_{n \to \infty } 9b- \lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{3b}{n} }{ \lim\limits_{n \to \infty } \dfrac{2a}{n}+\lim\limits_{n \to \infty } b- \lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{b}{n} } \\
& = \dfrac{ 0+ 9b-0}{0+b-0 } \\
& = \dfrac{ 9b }{ b }=9
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ 9$
12. Soal UMB-PT 2013 Kode 372 (*Soal Lengkap)
$\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^2-4}- (x+1) \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -4 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 4
\end{align}$
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^{2}-4}- (x+1) \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^{2}-4}- \sqrt{(x+1)^{2}} \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^{2}-4}- \sqrt{x^{2}+2x+1} \right ) \\
& =\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& =\dfrac{0-2}{2\sqrt{1}} \\
& =\dfrac{-2}{2}=-1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ -1$
13. Soal UMB-PT 2012 Kode 470 (*Soal Lengkap)
$\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^2+1}- (x-1) \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^{2}+1}- (x-1) \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^{2}+1}- \sqrt{(x-1)^{2}} \right ) \\
& =\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^{2}+1}- \sqrt{x^{2}-2x+1 }\right ) \\
& =\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& =\dfrac{0+2}{2\sqrt{1}} \\
& =\dfrac{ 2}{2}= 1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ 1$
14. Soal UMB-PT 2009 Kode 210 (*Soal Lengkap)
$\lim\limits_{x \to \infty} \left ( \dfrac{x-3}{\sqrt{1-2x+4x^2}} \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & \dfrac{1}{4} \\
(D)\ & -\dfrac{1}{4} \\
(E)\ & -\dfrac{1}{2}
\end{align}$
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \dfrac{x-3}{\sqrt{1-2x+4x^2}} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \dfrac{\sqrt{(x-3)^{2} }}{\sqrt{1-2x+4x^2}} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{ \dfrac{x^{2}-6x+9}{4x^2-2x+1} \times \frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}} }\ \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{ \dfrac{1-\dfrac{6}{x}+\frac{9}{x^{2}}}{4 -\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}}} \right ) \\
& = \sqrt{ \dfrac{1-0+0}{4-0+0} }\\
& =\dfrac{1}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ \dfrac{1}{2}$
15. Soal UMB-PT 2008 Kode 371 (*Soal Lengkap)
$\lim\limits_{x \to \infty} \left( \dfrac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2x-1}}{\sqrt{2x-3}-\sqrt{x}} \right)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left( \dfrac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2x-1}}{\sqrt{2x-3}-\sqrt{x}} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \dfrac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2x-1}}{\sqrt{2x-3}-\sqrt{x}} \times \sqrt{\dfrac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x} }}\ \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \dfrac{\sqrt{1+\frac{2}{x}}-\sqrt{2-\frac{1}{x}}}{\sqrt{2-\frac{3}{x}}-\sqrt{1}}\ \right ) \\
& = \dfrac{\sqrt{1+0}-\sqrt{2-0}}{\sqrt{2-0}-\sqrt{1}} \\
& = \dfrac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1} \\
& = -1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ -1$
16. Soal SPMB 2006 Kode 610 (*Soal Lengkap)
$\lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{4x+2}-\sqrt{4x} \right) \sqrt{x+1} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & \dfrac{1}{2} \\
(E)\ & 1
\end{align}$
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{4x+2}-\sqrt{4x} \right) \sqrt{x+1} \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{(4x+2)(x+1)}-\sqrt{(4x)(x+1)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{4x^{2}+6x+1}-\sqrt{4x^{2}+4x} \right) \\
& =\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& =\dfrac{6-4}{2\sqrt{4}} \\
& =\dfrac{2}{4}= \dfrac{1}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ -1$
17. Soal SPMB 2006 Kode 610 (*Soal Lengkap)
Jika $\lim\limits_{x \to \infty} x\ sin\ \left( \dfrac{a}{bx} \right) =b$, $a$ dan $b$ konstanta maka...
$\begin{align}
(A)\ & a=\dfrac{1}{2}b \\
(B)\ & a=b \\
(C)\ & a^{2}= b \\
(D)\ & a=b^{2} \\
(E)\ & a=2b
\end{align}$
Untuk menuntaskan soal limit ini kita gunakan sedikit manipulasi aljabar dan bekerjasama sedikit dengan limit fungsi trigonometri.
Misalkan $\dfrac{1}{x}=k$ sehingga $\dfrac{1}{k}=x$, alasannya yaitu $x \to \infty$ maka $k \to 0$.
Soal $\lim\limits_{x \to \infty} x\ sin\ \left( \dfrac{a}{bx} \right) =b$ sanggup kita tuliskan menjadi:
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to \infty} x\ sin\ \left( \dfrac{1}{x} \cdot \dfrac{a}{b} \right) & = b \\
\lim\limits_{k \to 0} \dfrac{1}{k}\ sin\ \left( \dfrac{1}{x} \cdot \dfrac{a}{b} \right) & = b \\
\lim\limits_{k \to 0} \dfrac{sin\ \left( k \cdot \dfrac{a}{b} \right)}{k}\ & = b \\
\lim\limits_{k \to 0} \dfrac{sin\ \left( k \cdot \dfrac{a}{b} \right)}{k}\ & = b \\
\dfrac{a}{b}\ & = b \\
a\ & = b^{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ a=b^{2}$
18. Soal UM UGM 2005 Kode 821 (*Soal Lengkap)
$ \lim\limits_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}$ sama dengan
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & \dfrac{1}{2} \\
(D)\ & \dfrac{1}{3} \\
(E)\ & 0
\end{align}$
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}} \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{\dfrac{x}{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}} \times \dfrac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x} }} \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{\dfrac{1}{1+\frac{1}{x}\sqrt{x+\sqrt{x}}}} \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{\dfrac{1}{1+\sqrt{\frac{x}{x^{2}}+\frac{1}{x}\sqrt{x}}}} \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{\dfrac{1}{1+\sqrt{\frac{1}{x }+ \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}}} \\
& = \sqrt{\dfrac{1}{1+\sqrt{\frac{1}{x }+ \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}}} \\
& = \sqrt{\dfrac{1}{1+\sqrt{0+ \sqrt{0}}}} = 1 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ 1$
19. Soal UM UGM 2005 Kode 821 (*Soal Lengkap)
Jika $\lim\limits_{x \to \infty} x^{2}\ \left( sec\ \dfrac{2}{x}-1 \right) =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Beberapa Identitas Trigonometri Dasar setidaknya sanggup kita gunakan pada manipulasi aljabar;
- $cos\ \left( \frac{1}{2}\pi -x \right) = sin\ \left( x \right)$
- $cos\ 2x= cos^{2}x-sin^{2}x$
- $cos\ 2x= 1-2sin^{2}x$
Soal $\lim\limits_{x \to \infty} x^{2}\ \left( sec\ \dfrac{2}{x}-1 \right)$ sanggup kita tuliskan menjadi:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} x^{2}\ \left( sec\ \left( 2 \cdot \dfrac{1}{x} \right) -1 \right) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \dfrac{1}{a} \right)^{2}\ \left( sec\ \left( 2 \cdot a \right)-1 \right) \\
& = \lim\limits_{a \to 0} \left( \dfrac{1}{a} \right)^{2}\ \left( sec\ 2a-1 \right) \\
& = \lim\limits_{a \to 0} \dfrac{1}{a^{2}} \left( \dfrac{1}{cos\ 2a} -1 \right) \\
& = \lim\limits_{a \to 0} \dfrac{1}{a^{2}}\ \left( \dfrac{1-cos\ 2a}{cos\ 2a} \right) \\
& = \lim\limits_{a \to 0} \dfrac{1}{a^{2}}\ \left( \dfrac{2sin^{2}a}{cos\ 2a} \right) \\
& = \lim\limits_{a \to 0} \left( \dfrac{2sin^{2}a}{a^{2}} \cdot \dfrac{1}{cos\ 2a}\right) \\
& = 2 \cdot \dfrac{1}{cos\ 0} \\
& = 2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ 2$
20. Soal SPMB 2005 Kode 570 (*Soal Lengkap)
$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{(1-2x)^{3}}{(x-1)(2x^{2}+x+1)}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -8 \\
(B)\ & -4 \\
(C)\ & \dfrac{1}{2} \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 8
\end{align}$
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{(1-2x)^{3}}{(x-1)(2x^{2}+x+1)} \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{-8x^{3}+\cdots}{ 2x^{3}+\cdots } \\
& = \dfrac{-8}{2}= -4
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ -4$
21. Soal SPMB 2005 Kode 171 (*Soal Lengkap)
Jika $\lim\limits_{x \to \infty} x^{2}\ sin\ \dfrac{1}{x}\ tan\ \dfrac{1}{x} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & \dfrac{1}{2} \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Untuk menuntaskan soal limit ini kita gunakan sedikit manipulasi aljabar dan bekerjasama sedikit dengan limit fungsi trigonometri.
Misalkan $\dfrac{1}{x}=p$ sehingga $\dfrac{1}{p}=x$, alasannya yaitu $x \to \infty$ maka $p \to 0$.
Soal $\lim\limits_{x \to \infty} x^{2}\ sin\ \dfrac{1}{x}\ tan\ \dfrac{1}{x}$ sanggup kita tuliskan menjadi:
$\begin{align}
& \lim\limits_{p \to 0} \left( \dfrac{1}{p} \right)^{2}\ sin\ p\ tan\ p \\
&= \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{1}{p^{2}}\ sin\ p\ tan\ p \\
&= \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{sin\ p\ tan\ p}{p^{2}} \\
&= \lim\limits_{p \to 0} \left( \dfrac{sin\ p}{p} \cdot \dfrac{tan\ p}{p} \right) \\
&= 1 \cdot 1 =1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ 1$
22. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)
$ \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\left(1-2x \right)^{3}}{\left(x-1 \right)\left(2x^{2}+x+1 \right)}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -8 \\
(B)\ & -4 \\
(C)\ & -1 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 8
\end{align}$
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan perihal Limit Tak Hingga yaitu $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{ax^m + a_1x^{m-1} + ...}{bx^m + b_1 x^{m-1} + ....}=\dfrac{a}{b}$ untuk $m$ bilangan asli
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\left(1-2x \right)^{3}}{\left(x-1 \right)\left(2x^{2}+x+1 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{-8x^{3}+\cdots}{2x^{3}+\cdots} \\
& = \dfrac{-8}{2}=-4
\end{align}$
$\cdots$ pada penulisan soal di atas yaitu pembagian terstruktur mengenai dari bentuk aljabar pada soal dimana pangkat tertinggi variabel yaitu $3$ pada pembilang dan $3$ juga pada penyebut.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -4$
23. Soal UNBK Matematika IPA 2020 (*Soal Lengkap)
Nilai dari $ \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \left (\sqrt{3x} -\sqrt{3x-4} \right ) \left( \sqrt{3x+2} \right) \right )$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{4}{3}\sqrt{3} \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & \dfrac{4}{3}\sqrt{3}
\end{align}$
Soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan sumbangan rumus alternatif yaitu $\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$.
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \left (\sqrt{3x} -\sqrt{3x-4} \right ) \left( \sqrt{3x+2} \right) \right ) \\
&= \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{\left( 3x \right)\left( 3x+2 \right)} -\sqrt{\left( 3x-4 \right)\left( 3x+2 \right)} \right ) \\
&= \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{9x^{2}+6x} -\sqrt{9x^{2}-6x-8} \right ) \\
&= \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
&= \dfrac{6-(-6)}{2\sqrt{9}} \\
&= \dfrac{12}{6}=2
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ 2$
24. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik (*Soal Lengkap)
Nilai $ \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{9x^2+18x-2020}+\sqrt{4x^2-20x+2020}-5x-2020 \right )= \cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2011 \\
(B)\ & -2020 \\
(C)\ & -2020 \\
(D)\ & -2021 \\
(E)\ & -2027 \\
\end{align}$
Penyelesaian soal limit takhingga di atas kita coba selesaikan dengan cara piral (pintar bernalar) Bapak Husein Tampomas, yaitu;
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{9x^2+18x-2020}+\sqrt{4x^2-20x+2020}-5x-2020 \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{\left( 3x+\frac{18}{6} \right)^{2} }+\sqrt{\left( 2x-\frac{20}{4} \right)^{2} }-5x-2020 \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \left( 3x+3 \right) + \left( 2x-5 \right)-5x-2020 \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( 3x+3 + 2x-5 -5x-2020 \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( -2 -2020 \right ) \\
& = -2021
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ -2021$
25. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik (*Soal Lengkap)
Nilai $ \lim\limits_{x \to \infty} 2x \left ( \sqrt{9+\frac{10}{x}}-3 \right )= \cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{20}{3} \\
(B)\ & \dfrac{10}{3} \\
(C)\ & -\dfrac{10}{3} \\
(D)\ & -\dfrac{20}{3} \\
(E)\ & \infty \\
\end{align}$
Penyelesaian soal limit takhingga di atas kita coba dengan sedikit manipulasi aljabar, yaitu:
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} 2x \left ( \sqrt{9+\frac{10}{x}}-3 \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( 2x \sqrt{9+\frac{10}{x}}-2x \cdot 3 \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{9 \cdot 4x^{2}+\frac{10}{x} \cdot 4x^{2}} - 6x \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{36x^{2}+40x} - 6x \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \sqrt{ \left( 6x +\frac{40}{12} \right)^{2} } - 6x \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( 6x +\frac{40}{12} - 6x \right ) \\
& = \dfrac{40}{12}=\dfrac{10}{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ \dfrac{10}{3}$
26. Soal UNBK Matematika Sekolah Menengan Atas IPS 2020 (*Soal Lengkap)
Nilai dari limit fungsi $\lim\limits_{x \to \infty} \left (\left (2x+1 \right )- \sqrt{4x^2-4x-5} \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Materi pokok dari soal ini yaitu Limit Fungsi Tak hingga, sebagai suplemen soal latihan silahkan dicoba 👀 Soal dan Pembahasan Limit Fungsi Tak hingga.
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left (\left (2x+1 \right )- \sqrt{4x^2-4x-5} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{ \left (2x+1 \right )^{2}}- \sqrt{4x^2-4x-5} \right ) \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{ 4x^{2}+4x+1}- \sqrt{4x^2-4x-5} \right ) \\
& = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& = \dfrac{4-(-4)}{2\sqrt{4}} \\
& = \dfrac{8}{2 \cdot 2} \\
& = \dfrac{8}{4}=2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ 2$
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras- lembar balasan evaluasi harian matematika,
- lembar balasan evaluasi tamat semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊
Masih menganggap matematika hanya hitung-hitungan semata, mari kita lihat kreativitas siswa ini, menciptakan lagu dengan matematika;
Belum ada Komentar untuk "✔ Bank Soal Dan Pembahasan Matematika Dasar Limit Tak Hingga"
Posting Komentar