✔ Bank Soal Dan Pembahasan Matematika Dasar Logaritma
Catatan calon guru yang kita diskusikan ketika ini akan membahas perihal Matematika Dasar Logaritma. logaritma tidak sanggup kita lepaskan dari topik sebelumnya yaitu eksponen dan bentuk akar. Eksponen, aturan dasar dan defenisi bentuk akar, dan logaritma sanggup kita istilahkan dengan tiga serangkai, sebab jikalau dipelajari hanya salah satu belum lengkap rasanya.
Penerapan logaritma dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, diantaranya sanggup dilihat dari referensi soal yang kita diskusikan di bawah. Mempelajari dan memakai aturan-aturan pada logaritma juga sangatlah mudah, jikalau Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan dibawah ini, maka anda akan dengan gampang memahami soal-soal logaritma dan menemukan solusinya.
Bagaimana hubungan bilangan berpangkat, bentuk akar dan logaritma, secara sederhana sanggup kita simak penjelasannya sebagai berikut;
- Dari bentuk bilangan berpangkat $ {\color{Blue} a}^{\color{Red} b}={\color{Green} c} $,
- untuk mendapat bilangan ${\color{Blue} a}$ dengan memakai bilangan ${\color{Red} b}$ dan ${\color{Green} c}$ maka operasi yang kita gunakan yaitu akar, penulisan operasinya yaitu $ \sqrt[{\color{Red} b}]{{\color{Green} c}}={\color{Blue} a}$
- untuk mendapat bilangan ${\color{Red} b}$ dengan memakai bilangan ${\color{Blue} a}$ dan ${\color{Green} c}$ maka operasi yang kita gunakan yaitu logaritma, penulisan operasinya yaitu $^{{\color{Blue} a}}\textrm{log}\ {\color{Green} c}={\color{Red} b}$
- $ {\color{Blue} 2}^{\color{Red} 3}={\color{Green} 8} $ $\Leftrightarrow $ $^{{\color{Blue} 2}}\textrm{log}\ {\color{Green} 8}= {\color{Red}3}$;
- $ \sqrt[{\color{Red} 3}]{{\color{Green} 8}}={\color{Blue} 2}$ $\Leftrightarrow$ $ {\color{Blue} 2}^{\color{Red} 3}={\color{Green} 8} $;
- $ \sqrt[{\color{Red} 3}]{{\color{Green} 8}}={\color{Blue} 2}$ $\Leftrightarrow$ $^{{\color{Blue} 2}}\textrm{log}\ {\color{Green} 8}= {\color{Red}3}$.
Istilah-istilah pada logaritma $^{{\color{Blue} a}}\textrm{log}\ {\color{Green} b}={\color{Red}c}$
- $ {\color{Blue} a}$ disebut Basis [Bilangan Pokok]. Batasan nilai $ {\color{Blue} a}$ yaitu $ {\color{Blue} a} \gt 0$ dan ${\color{Blue} a}\neq 1$. Untuk logaritma basis $10$ sanggup tidak dituliskan.
- $ {\color{Green} b}$ disebut Numerus atau bilangan yang dicari logaritmanya. Batasan nilai $ {\color{Green} b}$ yaitu $ {\color{Green} b} \gt 0$
- $ {\color{Red}c}$ disebut Hasil logaritma
- ${}^a\!\log a=1$ sebab $ a^{0}=1$
- ${}^a\!\log 1=0$ sebab $ a^{1}=a$
- ${}^a\!\log x\ +{}^a\!\log y={}^a\!\log \left (x\cdot y \right )$
- ${}^a\!\log x\ -{}^a\!\log y={}^a\!\log \dfrac{x}{y} $
- ${}^a\!\log x^{n}=n {}^a\!\log x $
- ${}^a\!\log \sqrt[n]{x}=\dfrac{1}{n}\ {}^a\!\log x $
- ${}^{a^{n}}\!\log x^{m}=\dfrac{m}{n}\ {}^a\!\log x $
- ${}^a\!\log x= \dfrac{{}^p\!\log x}{{}^p\!\log a} $
- ${}^a\!\log x \cdot\ {}^x\!\log b={}^a\!\log b$
- ${}^a\!\log x= \dfrac{1}{{}^x\!\log a} $
- $ a^{{}^a\!\log x}= x $
- $ a^{{}^b\!\log c}=c^{{}^b\!\log a} $ (*pembuktian)
1. Soal SBMPTN 2015 Kode 634 (*Soal Lengkap)
Diketahui ${}^p\!\log 2 =8$ dan ${}^q\!\log 8 =4$. Jika $s=p^{4}$ dan $t=q^{2}$, maka nilai ${}^t\!\log s =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4} \\
(B)\ & \dfrac{1}{3} \\
(C)\ & \dfrac{2}{3} \\
(D)\ & \dfrac{3}{2} \\
(E)\ & 3
\end{align}$
Dari data yang diketahui, kita peroleh;
$\begin{align}
{}^p\!\log 2 =8\ \Leftrightarrow & p=2^{\dfrac{1}{8}} \\
{}^q\!\log 8 =4\ \Leftrightarrow & q=8^{\dfrac{1}{4}}=2^{\dfrac{3}{4}} \\
\hline
{}^t\!\log s &= {}^{q^{2}}\!\log p^{4} \\
&= \dfrac{4}{2} {}^q\!\log p \\
& =2 \cdot \dfrac{4}{2}\ ^{2^\frac{1}{8}} {}^\!\log 2^\frac{3}{4} \\
& =2 \cdot \dfrac{\frac{1}{8}}{\frac{3}{4}} {}^2\!\log {2} \\
& =2 \cdot \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{4}{3} \\
& = \dfrac{1}{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ \dfrac{1}{3}$
2. Soal SBMPTN 2014 Kode 622 (*Soal Lengkap)
Diketahui $a={}^4\!\log\ x$ dan $b={}^2\!\log\ x$. Jika ${}^4\!\log\ b+{}^2\!\log\ a=2$, maka $a+b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\
(B)\ & 6 \\
(C)\ & 8 \\
(D)\ & 12 \\
(E)\ & 16
\end{align}$
$a=^{4}log\ x$ dan $b=^{2}log\ x$ $\Leftrightarrow $ $2a=b$
$\begin{align}
^{4}log\ b+^{2}log\ a &= 2 \\
\dfrac{1}{2}^{2}log\ b+^{2}log\ a &= 2 \\
^{2}log\ b^{\dfrac{1}{2}}+^{2}log\ a &= 2 \\
^{2}log\ \left( b^{\dfrac{1}{2}} \cdot a \right) &= 2 \\
b^{\dfrac{1}{2}} \cdot a &= 2^{2} \\
(2a)^{\dfrac{1}{2}} \cdot a &= 4 \\
2a \cdot a^{2} &= 16 \\
a^{3} &= 8 \\
a=2\ \text{dan}\ b=4
\end{align}$
Nilai $a+b=2+4=6$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ 6$
3. Soal SBMPTN 2013 Kode 425 (*Soal Lengkap)
Jika $^{x}log\ w=\dfrac{1}{2}$ dan $^{xy}log\ w=\dfrac{2}{5}$ maka nilai $^{y}log\ w$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\
(B)\ & 6 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 1
\end{align}$
$\begin{align}
^{x}log\ w=\dfrac{1}{2} & \Leftrightarrow ^{w}log\ x=2
\end{align}$
$\begin{align}
^{xy}log\ w=\dfrac{2}{5}
& \Leftrightarrow ^{w}log\ {xy}=\dfrac{5}{2} \\
& \Leftrightarrow ^{w}log\ {x}+^{w}log\ {y}=\dfrac{5}{2} \\
& \Leftrightarrow 2+^{w}log\ {y}=\dfrac{5}{2} \\
& \Leftrightarrow ^{w}log\ {y}=\dfrac{5}{2}-2 \\
& \Leftrightarrow ^{w}log\ {y}=\dfrac{1}{2} \\
& \Leftrightarrow ^{y}log\ {w}=2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ 2$
4. Soal SIMAK UI 2013 Kode 331 (*Soal Lengkap)
Diketahui bahwa:
$^{3}log\ x \cdot\ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x =$ $^{3}log\ x\cdot\ ^{6}log\ x + ^{3}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x+ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x$
maka nilai $x$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(1)\ & \dfrac{1}{3} \\
(2)\ & 1 \\
(3)\ & 4 \\
(4)\ & 162
\end{align}$
$^{3}log\ x \cdot\ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x =$ $^{3}log\ x\cdot\ ^{6}log\ x + ^{3}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x+ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x$
Jika kita perhatikan persamaan diatas, tiap ruas mengandung $^{3}log\ x$ sehingga persamaan akan memenuhi untuk $x=1$.
Berikutnya, ruas kiri dan kanan persamaan kita kalikan dengan $^{x}log\ 3$ sehingga kita peroleh;
$\Rightarrow$ $^{3}log\ x \cdot\ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 3=$ $^{3}log\ x\cdot\ ^{6}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 3+ ^{3}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 3+ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 3$
$\Rightarrow$ $^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x=$ $^{6}log\ x+^{9}log\ x+ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ 3$
Berikutnya, ruas kiri dan kanan persamaan kita kalikan dengan $^{x}log\ 6$ sehingga kita peroleh;
$\Rightarrow$ $^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 6=$ $^{6}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 6+^{9}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 6+ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ 3 \cdot\ ^{x}log\ 6$
$\Rightarrow$ $^{9}log\ x=$ $1+^{9}log\ 6+ ^{9}log\ 3$
$\Rightarrow$ $^{9}log\ x=$ $^{9}log\ 9+^{9}log\ 6+ ^{9}log\ 3$
$\Rightarrow$ $^{9}log\ x=$ $^{9}log\ (9 \cdot 6 \cdot 3)$
$\therefore$ $x=9 \cdot 6 \cdot 3=162$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ (2)\ \text{dan}\ (4)$
5. Soal SIMAK UI 2012 Kode 222 (*Soal Lengkap)
Jika diketahui:
$f(n)=^{2}log\ 3 \cdot\ ^{3}log\ 4 \cdot\ ^{4}log\ 5 \cdots\ ^{n-1}log\ n$ maka $f(8)+f(16)+f(32)+ \cdots +f(2^{30})=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 461 \\
(B)\ & 462 \\
(C)\ & 463 \\
(D)\ & 464 \\
(E)\ & 465
\end{align}$
$f(n)=^{2}log\ 3 \cdot\ ^{3}log\ 4 \cdot\ ^{4}log\ 5 \cdots\ ^{n-1}log\ n$
$f(8)=^{2}log\ 3 \cdot\ ^{3}log\ 4 \cdot\ ^{4}log\ 5 \cdots\ ^{7}log\ 8$
$f(2^{3})=^{2}log\ 8=3$
$f(16)=^{2}log\ 3 \cdot\ ^{3}log\ 4 \cdot\ ^{4}log\ 5 \cdots\ ^{15}log\ 16$
$f(2^{4})=^{2}log\ 16=4$
$f(32)=^{2}log\ 3 \cdot\ ^{3}log\ 4 \cdot\ ^{4}log\ 5 \cdots\ ^{31}log\ 32$
$f(2^{5})=^{2}log\ 8=5$
$\vdots$
$f(2^{30})=^{2}log\ 3 \cdot\ ^{3}log\ 4 \cdot\ ^{4}log\ 5 \cdots\ ^{2^{30}-1}log\ 2^{30}$
$f(2^{30})=^{2}log\ 2^{30}=30$
$f(8)+f(16)+f(32)+ \cdots +f(2^{30})$
$=3+4+5+\cdots+30$
$=15 \cdot 31 -3$
$=462$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ 462$
6. Soal SIMAK UI 2012 Kode 222 (*Soal Lengkap)
Sebuah bulat mempunyai jari-jari $log\ a^{2}$ dan keliling $log\ b^{4}$, maka $^{a}log\ b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4\pi} \\
(B)\ & \dfrac{1}{\pi} \\
(C)\ & \pi \\
(D)\ & 2\pi \\
(E)\ & 10^{2\pi}
\end{align}$
Keliling Lingkaran yaitu $2 \pi r$, sehingga berlaku
$\begin{align}
log\ b^{4} &= 2 \pi\ log\ a^{2} \\
4 log\ b &= 2 \pi\ 2 log\ a \\
4 log\ b &= 4 \pi\ log\ a \\
log\ b &=\pi\ log\ a \\
\dfrac{log\ b}{log\ a} &= \pi \\
^{a}log\ b &= \pi
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ \pi$
7. Soal USM STIS 2015 (*Soal Lengkap)
Jika diketahui $x=log\ a$, $y=log\ b$ dan $z=log\ c$. Maka bentuk sederhana dari $log\left (\dfrac{a}{b^{2}}\sqrt{c} \right )$ dalam $x$, $y$ dan $z$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & log \left (\dfrac{x}{y^{2}}\sqrt{z} \right ) \\
(B)\ & log\ x-log\ y^{2}+log \sqrt{z} \\
(C)\ & \dfrac{x}{y^{2}}\sqrt{z} \\
(D)\ & x-2y+ \dfrac{1}{2}z \\
(E)\ & x-y^{2}+\sqrt{c}
\end{align}$
$\begin{align}
log\left (\dfrac{a}{b^{2}}\sqrt{c} \right ) &= log\left (\dfrac{a}{b^{2}}\right )+log\ \sqrt{c} \\
&=log\ a-log\ b^{2} + log\ c^{\dfrac{1}{2}} \\
&=log\ a-2\ log\ b +\dfrac{1}{2} log\ c \\
&=x-2y +\dfrac{1}{2} z \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ x-2y+ \dfrac{1}{2}z$
8. Soal USM STIS 2020 (*Soal Lengkap)
$\dfrac{\left (^{5}log\ 10 \right )^{2}-\left (^{5}log\ 2 \right )^{2}}{^{5}log\ \sqrt{20}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2} \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 2 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 5
\end{align}$
Untuk menuntaskan soal logaritma diatas kita gunakan sifat aljabar $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$
$\dfrac{\left (^{5}log\ 10 \right )^{2}-\left (^{5}log\ 2 \right )^{2}}{^{5}log\ \sqrt{20}}$
$=\dfrac{\left (^{5}log\ 10\ +\ ^{5}log\ 2 \right) \left(^{5}log\ 10\ -\ ^{5}log\ 2 \right)}{^{5}log\ 20^{\dfrac{1}{2}}}$
$=\dfrac{\left (^{5}log\ 20\right) \left(^{5}log\ 5\right)}{\dfrac{1}{2}\ ^{5}log\ 20}$
$=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}$
$=2$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 2$
9. Soal UM UNDIP 2015 Kode 517 (*Soal Lengkap)
Diketahui persamaan
\begin{split}^{2}log\ ^{3}log\ \left(^{5}log\ a\right )&=^{3}log\ ^{5}log\ \left(^{2}log\ b\right )\\
&=^{5}log\ ^{2}log\ \left(^{3}log\ c\right )\\
&=0\end{split}maka nilai dari $a+b+c$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 145 \\
(B)\ & 146 \\
(C)\ & 166 \\
(D)\ & 178 \\
(E)\ & 200
\end{align}$
Untuk menuntaskan persamaan logaritma diatas, kita coba selesaikan persamaannya satu persatu, persamaan pertama;
$\begin{align}
^{3}log\ ^{5}log\ \left(^{2}log\ b\right )&=0\\
^{3}log\ ^{5}log\ \left(^{2}log\ b\right )&=\ ^{3}log\ 1\\
^{5}log\ \left(^{2}log\ b\right )&=1\\
^{5}log\ \left(^{2}log\ b\right )&=\ ^{5}log\ 5\\
\left(^{2}log\ b\right )&=5\\
b&=2^{5}\\
b&=32
\end{align}$
Persamaan kedua;
$\begin{align}^{5}log\ ^{2}log\ \left(^{3}log\ c\right )&=0\\
^{5}log\ ^{2}log\ \left(^{3}log\ c\right )&=\ ^{5}log\ 1\\
^{2}log\ \left(^{3}log\ c\right )&=1\\
^{2}log\ \left(^{3}log\ c\right )&=\ ^{2}log\ 2\\
\left(^{3}log\ c\right )&=2\\
c&=3^{2}\\
c&=9
\end{align}$
Persamaan ketiga;
$\begin{align}^{2}log\ ^{3}log\ \left(^{5}log\ a\right )&=0\\
^{2}log\ ^{3}log\ \left(^{5}log\ a\right )&=\ ^{2}log\ 1\\
^{3}log\ \left(^{5}log\ a\right )&= 1\\
^{3}log\ \left(^{5}log\ a\right )&=\ ^{3}log\ 3\\
\left(^{5}log\ a\right )=3\\
a=5^{3}\\
a=125
\end{align}$
$a+b+c=125+32+9=166$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 166$
10. Soal SIMAK UI 2010 Kode 203 (*Soal Lengkap)
Jika $(p,q)$ merupakan penyelesaian dari sistem berikut:
\begin{split}
^{3}log\ x\ +\ ^{2}log\ y &=4\\
^{3}log\ x^{2}\ -\ ^{4}log\ 4y^{2} &=1\\
\end{split} maka nilai $p-q=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 4 \\
(C)\ & 5 \\
(D)\ & 9 \\
(E)\ & 13
\end{align}$
Sistem persamaan diatas mempunyai peneyelesaian $(p,q)$, sehingga kita harus mendapat nilai $p$ dan $q$ yang berturut-turut merupakan nilai $x$ dan $y$ dari sistem persamaan.
Pertama kita coba sederhanakan sistem persamaan. Persamaan pertama sudah berada pada bentuk yang paling sederhana, sehingga yang perlu kita sederhanakan yaitu persamaan kedua;
$\begin{align}
^{3}log\ x^{2}\ -\ ^{4}log\ 4y^{2} &=1\\
2\ ^{3}log\ x\ -\ ^{2^{2}}log\ {(2y)}^{2} &=1\\
2\ ^{3}log\ x\ -\ \dfrac{2}{2}\ ^{2}log\ {2y} &=1\\
2\ ^{3}log\ x\ -\ ^{2}log\ {2y} &=1\\
2\ ^{3}log\ x\ -\ (^{2}log\ {2}+^{2}log\ {y}) &=1\\
2\ ^{3}log\ x\ -\ ^{2}log\ {2}-^{2}log\ {y} &=1\\
2\ ^{3}log\ x\ -^{2}log\ {y} &=2
\end{align}$
Sistem persamaan kini sanggup kita tuliskan menjadi;
$\begin{align}
^{3}log\ x\ +\ ^{2}log\ y &=4\\
2\ ^{3}log\ x\ -\ ^{2}log\ y &=2\\
\end{align}$
Untuk mempermudah penulisan atau penyelesaian persamaan diatas, kita misalkan $^{3}log\ x\ =m$ dan $^{2}log\ y\ =n$. Dengan pemisalan ini sistem persamaan sanggup kita tuliskan menjadi;
$\begin{align}
m\ +\ n\ &=4\\
2\ m\ -\ n\ &=2\\
\end{align} $
Dengan mengeliminasi atau mengsubstitusi sistem persamaan diatas, maka kita peroleh nilai $m=2$ dan $n=2$.
Untuk nilai $m=2$ maka $^{3}log\ x\ =2$ sehingga $x=3^{2}$
Untuk nilai $n=2$ maka $^{2}log\ y\ =2$ sehingga $y=2^{2}$
Nilai $p-q=9-4=5$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 5$
11. Soal SIMAK UI 2010 Kode 203 (*Soal Lengkap)
Nilai $\dfrac{^{2}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5+\ ^{3}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5}{^{2}log\ 5 \cdot ^{3}log\ 5}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 2 \\
(D)\ & 5 \\
(E)\ & 6
\end{align}$
$\dfrac{^{2}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5+\ ^{3}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5}{^{2}log\ 5 \cdot ^{3}log\ 5}$
$=\dfrac{^{2}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5+\ ^{3}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5}{^{2}log\ 5 \cdot ^{3}log\ 5} \cdot \dfrac{^{5}log\ 6}{^{5}log\ 6}$
$=\dfrac{^{2}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5\ \cdot\ ^{5}log\ 6+\ ^{3}log\ 5\ \cdot\ ^{6}log\ 5\ \cdot\ ^{5}log\ 6}{^{2}log\ 5 \cdot ^{3}log\ 5\ \cdot\ ^{5}log\ 6}$
$=\dfrac{^{2}log\ 5\ +\ ^{3}log\ 5}{^{2}log\ 6 \cdot ^{3}log\ 5} \cdot \dfrac{^{5}log\ 3}{^{5}log\ 3}$
$=\dfrac{^{2}log\ 5\ \cdot\ ^{5}log\ 3+\ ^{3}log\ 5\ \cdot\ ^{5}log\ 3}{^{2}log\ 6 \cdot ^{3}log\ 5\ \cdot\ ^{5}log\ 3}$
$=\dfrac{^{2}log\ 3\ +\ 1}{^{2}log\ 6}$
$=\dfrac{^{2}log\ 3\ +\ ^{2}log\ 2}{^{2}log\ 6}$
$=\dfrac{^{2}log\ (3 \cdot 2)}{^{2}log\ 6}$
$=\dfrac{^{2}log\ 6}{^{2}log\ 6}$
$=1$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ 1$
12. Soal UM UGM 2020 Kode 723 (*Soal Lengkap)
Jika $^{2}log\ (a-b)=4$, maka $^{4}log\ \left (\dfrac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\dfrac{2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{^{2}log\ a-4}{4} \\
(B)\ & \dfrac{^{2}log\ a+4}{4} \\
(C)\ & \dfrac{^{2}log\ a-2}{2} \\
(D)\ & \dfrac{^{2}log\ a+2}{2} \\
(E)\ & \dfrac{^{2}log\ a-1}{2}
\end{align}$
$^{4}log\ \left (\dfrac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\dfrac{2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \right )$
$=\ ^{4}log\ \left (\dfrac{4\sqrt{a}}{a-b} \right )$
$=\ ^{4}log\ 4\sqrt{a} -\ ^{4}log\ (a-b)$
$=\ ^{4}log\ 4 +\ ^{4}log\ \sqrt{a} -\ \dfrac{1}{2} \cdot ^{2}log\ (a-b)$
$=1 +\ ^{2^{2}}log\ a^{\dfrac{1}{2}} -\ \dfrac{1}{2} \cdot 4$
$=1 +\ \dfrac{1}{4} \cdot ^{2}log\ a -\ 2$
$=\dfrac{1}{4} \cdot ^{2}log\ a -\ 1$
$=\dfrac{^{2}log\ a -\ 4}{4}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ \dfrac{^{2}log\ a-4}{4}$
13. Soal SIMAK UI 2009 Kode 911 (*Soal Lengkap)
${}^3 \log x + 2\ {}^9 \log y = 3$ dan ${}^3 \log \left( \dfrac{x-y}{2} \right) = 0 $, maka $ x + y = \cdots $
$\begin{align}
(1)\ & 2\sqrt{7} \\
(2)\ & -4\sqrt{7} \\
(3)\ & -2\sqrt{7} \\
(4)\ & 4\sqrt{7}
\end{align}$
Kita coba mulai bermain dari persamaan pertama ${}^3 \log x + 2\ {}^9 \log y = 3 $, dengan mengusahakan bilangan pokok logaritma jadi sama.
$ \begin{align}
{}^3 \log x + 2\ {}^9 \log y & = 3 \\
{}^3 \log x + 2\ {}^{3^2} \log y & = 3 \\
{}^3 \log x + 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot {}^3 \log y & = 3 \\
{}^3 \log x + {}^3 \log y & = 3 \\
{}^3 \log xy & = 3 \\
xy & = 3^3 \\
xy & = 27 \\
\end{align} $
Syarat bilangan ${}^3 \log x$ yaitu $ x > 0 $ dan syarat ${}^9 \log y$ yaitu $ y > 0 $.
Lalu kita bermain dari persamaan kedua $ {}^3 \log \left( \dfrac{x-y}{2} \right) = 0 $
$ \begin{align}
{}^3 \log \left( \dfrac{x-y}{2} \right) & = 0 \\
\dfrac{x-y}{2} & = 3^0 \\
\dfrac{x-y}{2} & = 1 \\
x - y & = 2
\end{align} $
Dari hasil yang kita peroleh dari persamaan pertama $ xy = 27 $ dan kedua $ x - y = 2 $;
$ \begin{align}
x - y & = 2 \\
(x - y)^2 & = 2^2 \\
x^2 + y^2 - 2xy & = 4 \\
x^2 + 2xy + y^2 - 4xy & = 4 \\
(x + y)^2 - 4xy & = 4 \\
(x + y)^2 & = 4 + 4xy \\
(x + y)^2 & = 4 + 4. 27 \\
(x + y)^2 & = 112 \\
x + y & = \pm \sqrt{112} \\
x + y & = \pm 4 \sqrt{7}
\end{align} $
Karena $ x > 0 $ dan $ y > 0 $ dari syarat, maka nilai $ x + y$ yang memenuhi hanya $4\sqrt{7}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ (4)\ 4\sqrt{7}$
14. Soal SBMPTN 2020 Kode 526 (*Soal Lengkap)
Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ memenuhi $\left ( ^{(2-x)}log\ 27 \right )^{2}=9$ maka nilai $x_{1}+x_{2}$ adalah
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{8}{3} \\
(B)\ & \dfrac{5}{3} \\
(C)\ & \dfrac{2}{3} \\
(D)\ & -\dfrac{2}{3} \\
(E)\ & -\dfrac{8}{3}
\end{align}$
$\begin{align}
\left ( ^{(2-x)}log\ 27 \right )^{2} &= 9 \\
^{(2-x)}log\ 27 & = \pm \sqrt{9} \\
^{(2-x)}log\ 27 & = \pm 3 \\
^{(2-x)}log\ 27 & = 3\ \text{atau} \\
^{(2-x)}log\ 27 & = - 3
\end{align}$
$\begin{align}
^{(2-x)}log\ 27 & = 3 \\
(2-x)^{3} & = 27 \\
(2-x)^{3} & = 3^{3} \\
2-x & = 3 \\
2-3 & = x \\
-1 & = x
\end{align}$
$\begin{align}
^{(2-x)}log\ 27 & = -3 \\
(2-x)^{-3} & = 27 \\
(2-x)^{-3} & = \dfrac{1}{3}^{-3} \\
2-x & = \dfrac{1}{3} \\
6-3x & = 1 \\
6-1 & = 3x \\
\dfrac{5}{3} & = x
\end{align}$
$x_{1}+x_{2}= \dfrac{5}{3}-1=\dfrac{2}{3}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ \dfrac{2}{3}$
15. Soal SBMPTN 2020 Kode 527 (*Soal Lengkap)
Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ memenuhi $\left ( ^{3}log\ (x+1) \right )^{2}=4$ maka nilai $x_{1} x_{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\
(B)\ & \dfrac{64}{9} \\
(C)\ & -\dfrac{8}{9} \\
(D)\ & -\dfrac{64}{9} \\
(E)\ & -\dfrac{80}{9}
\end{align}$
$\begin{align}
\left ( ^{3}log\ (x+1) \right )^{2} &= 4 \\
^{3}log\ (x+1) &= \pm \sqrt{ 4} \\
^{3}log\ (x+1) &= \pm 2 \\
^{3}log\ (x+1) &= 2\ \text{atau} \\
^{3}log\ (x+1) &= - 2
\end{align}$
$\begin{align}
^{3}log\ (x+1) &= 2 \\
3^{2} & = x+1 \\
9 & = x+1 \\
x & = 8
\end{align}$
$\begin{align}
^{3}log\ (x+1) &= -2 \\
3^{-2} & = x+1 \\
\dfrac{1}{9} & = x+1 \\
1 & = 9x+9 \\
-8 & = 9x \\
-\dfrac{8}{9} & = x
\end{align}$
$x_{1} x_{2}=-\dfrac{8}{9} \times 8 = -\dfrac{64}{9}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ -\dfrac{64}{9}$
16. Soal SIMAK UI 2020 Kode 641 (*Soal Lengkap)
Jika $ ^{7}log\ \left( ^{3}log\ \left( ^{2}log\ x \right ) \right ) =0$, nilai $2x+^{4}log\ x^{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 10 \\
(B)\ & 12 \\
(C)\ & 19 \\
(D)\ & 21 \\
(E)\ & 24
\end{align}$
$\begin{align}
^{7}log\ \left( ^{3}log\ \left( ^{2}log\ x \right ) \right ) &= 0 \\
^{7}log\ \left( ^{3}log\ \left( ^{2}log\ x \right ) \right ) &= ^{7}log\ 1 \\
^{3}log\ \left( ^{2}log\ x \right ) &= 1 \\
^{3}log\ \left( ^{2}log\ x \right ) &= ^{3}log\ 3 \\
^{2}log\ x &= 3 \\
x &= 2^{3} =8
\end{align}$
$\begin{align}
2x+^{4}log\ x^{2} &= 2(8)+^{4}log\ (8)^{2} \\
& = 16 + ^{4}log\ (8)^{2} \\
& = 16 + ^{4}log\ 4^{3} \\
& = 16 + 3 = 19
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 19$
17. Soal SIMAK UI 2012 Kode 223 (*Soal lengkap)
Jika diketahui $x$ dan $y$ yaitu bilangan real dengan $x \gt 1$ dan $y \gt 0$. Jika $xy=x^{y}$ dan $\dfrac{x}{y}=x^{5y}$, maka $x^{2}+3y=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 29 \\
(B)\ & 28 \\
(C)\ & 27 \\
(D)\ & 26 \\
(E)\ & 25
\end{align}$
$\begin{align}
x^{y} &= xy \Leftrightarrow {}^x\!\log (xy)=y \\
{}^x\!\log (xy) &= y \\
{}^x\!\log x+{}^x\!\log y &= y \\
1+{}^x\!\log y &= y \\
{}^x\!\log y &= y-1 \cdots (pers.1)
\end{align}$
$\begin{align}
\dfrac{x}{y} &= x^{5y} \Leftrightarrow {}^x\!\log (\dfrac{x}{y}) = 5y \\
{}^x\!\log (\dfrac{x}{y}) &= 5y \\
{}^x\!\log x-{}^x\!\log y &= 5y \\
1-{}^x\!\log y &= 5y \\
{}^x\!\log y &= 1-5y\ \cdots (pers.2)
\end{align}$
Dengan mensubstitusi $(pers.1)$ dan $(pers.2)$ maka kita peroleh:
$\begin{align}
{}^x\!\log y &= {}^x\!\log y \\
y-1 &= 1-5y \\
6y &= 2\ \Rightarrow y= \dfrac{1}{3} \\
\hline
xy &= x^{y} \\
x\left( \dfrac{1}{3} \right) &= x^{\dfrac{1}{3}} \\
x &= 3x^{\dfrac{1}{3}} \\
x^{3} &= 27x\ \Rightarrow x^{2} = 27 \\
\hline
x^{2}+3y &= 27+3(\dfrac{1}{3})=28
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ 28$
18. Soal UM UGM 2014 Kode 521 (*Soal Lengkap)
Jika $4^{y+3x}=64$ dan ${}^x\!\log (x+12)-3{}^x\!\log 4=-1$ maka $x+2y=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 86 \\
(B)\ & 34 \\
(C)\ & -5 \\
(D)\ & -14 \\
(E)\ & -34
\end{align}$
$\begin{align}
{}^x\!\log (x+12)-3{}^x\!\log 4 &= -1 \\
{}^x\!\log (x+12)- {}^x\!\log 4^{3} &= -1 \\
{}^x\!\log \dfrac{(x+12)}{4^{3}} &= {}^x\!\log \dfrac{1}{x} \\
\dfrac{(x+12)}{4^{3}} &= \dfrac{1}{x} \\
x^{2}+12x &= 64 \\
x^{2}+12x-64 &= 0 \\
(x+16)(x-4) &= 0 \\
x=-16\ \text{(TM)}\ \text{atau}\ &\ x=4
\end{align}$
$\begin{align}
4^{y+3x} &= 64 \\
4^{y+3x} &= 4^{3} \\
y+3x &= 3 \\
y &= 3-3x \\
x=4\ & \Rightarrow y=-9 \\
\hline
x+2y= & 4+2(-9)=-14
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ 28$
19. Soal UM UGM 2014 Kode 521 (*Soal Lengkap)
Jika $f \left(x^{2}+3x+1 \right) = {}^2\!\log \left(2x^{3}-x^{2}+7 \right)$, $x \geq 0$ maka $f(5)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 5
\end{align}$
$\begin{align}
f \left(x^{2}+3x+1 \right) &= {}^2\!\log \left(2x^{3}-x^{2}+7 \right) \\
\text{untuk}\ x=1, \text{maka:}\\
f \left((1)^{2}+3(1)+1 \right) &= {}^2\!\log \left(2(1)^{3}-(1)^{2}+7 \right) \\
f \left(5 \right) &= {}^2\!\log \left(8 \right) \\
&= {}^2\!\log 2^{3} \\
&= 3
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 3$
20. Soal UMB-PT 2014 Kode 672 (*Soal Lengkap)
Jika $a \gt 1$, $b \gt 1$ dan $c \gt 1$ maka $\left( {}^a\!\log \dfrac{1}{b} \right)\left( {}^b\!\log \dfrac{1}{c} \right)\left( {}^c\!\log \dfrac{1}{a} \right)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1-abc \\
(B)\ & abc \\
(C)\ & -abc \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & -1
\end{align}$
$\begin{align}
& \left( {}^a\!\log \dfrac{1}{b} \right)\left( {}^b\!\log \dfrac{1}{c} \right)\left( {}^c\!\log \dfrac{1}{a} \right) \\
& = \left( {}^a\!\log b^{-1} \right)\left( {}^b\!\log c^{-1} \right)\left( {}^c\!\log a^{-1} \right) \\
& = (-1) \left( {}^a\!\log b \right)(-1)\left( {}^b\!\log c \right)(-1)\left( {}^c\!\log a \right) \\
& = (-1) {}^a\!\log b \cdot {}^b\!\log c \cdot {}^c\!\log a \\
&= -1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ -1$
21. Soal SBMPTN 2014 Kode 683 (*Soal Lengkap)
Jika ${}^b\!\log a=-2$ dan ${}^3\!\log b=\left( {}^3\!\log 2 \right)\left(1+ {}^2\!\log 4a \right)$, maka $4a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 768 \\
(B)\ & 72 \\
(C)\ & 36 \\
(D)\ & 12 \\
(E)\ & 3
\end{align}$
$\begin{align}
{}^b\!\log a &= -2 \\
b^{-2} & = a \\
\hline
{}^3\!\log b &= \left( {}^3\!\log 2 \right)\left(1+ {}^2\!\log 4a \right) \\
{}^3\!\log b &= \left( {}^3\!\log 2 \right)\left({}^2\!\log 2+ {}^2\!\log 4b^{-2} \right) \\
{}^3\!\log b &= {}^3\!\log 2 \cdot {}^2\!\log 8b^{-2} \\
{}^3\!\log b &= {}^3\!\log 8b^{-2} \\
b &= 8b^{-2} \\
b^{3} &= 8 \\
b &= 2 \\
\hline
a & = b^{-2}=2^{-2}=\dfrac{1}{4} \\
4a+b & = 4 \left( \dfrac{1}{4} \right) + 2 \\
& = 3
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ 3$
22. Soal SIMAK UI 2010 Kode 208 (*Soal Lengkap)
Jika diketahui ${}^a\!\log b + \left( {}^a\!\log b \right)^{2} + \left( {}^a\!\log b \right)^{3} + \cdots =2$, maka $ {}^a\!\log b + {}^b\!\log \sqrt[3]{a^{2}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & \dfrac{3}{2} \\
(C)\ & \dfrac{5}{3} \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 3
\end{align}$
Untuk menuntaskan soal ini kita tidak hanya perlu beberapa sifat logaritma yang harus sudah kita pahami, tetapi juga perlu jumlah deret tak hingga konvergen.
Deret ${}^a\!\log b + \left( {}^a\!\log b \right)^{2} + \left( {}^a\!\log b \right)^{3} + \cdots =2$ yaitu deret geometri tak hingga yang konvergen dimana $U_{1}={}^a\!\log b$ dan $r={}^a\!\log b$ sehingga berlaku;
$\begin{align}
S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\
2 &= \dfrac{{}^a\!\log b}{1-{}^a\!\log b} \\
2 &= \dfrac{{}^a\!\log b}{{}^a\!\log a-{}^a\!\log b} \\
2 &= \dfrac{{}^a\!\log b}{{}^a\!\log \dfrac{a}{b} } \\
2 \cdot {}^a\!\log \dfrac{a}{b} &= {}^a\!\log b \\
{}^a\!\log \left( \dfrac{a}{b} \right)^{2}&= {}^a\!\log b \\
\left( \dfrac{a}{b} \right)^{2}&= b \\
a^{2} &= b \cdot b^{2} \\
a^{2} &= b^{3} \\
a^{\frac{2}{3}} &= b
\end{align}$
Nilai dari
$\begin{align}
{}^a\!\log b + {}^b\!\log \sqrt[3]{a^{2}} &= {}^a\!\log a^{\frac{2}{3}} + {}^b\!\log \sqrt[3]{b^{3}} \\
&= \dfrac{2}{3} \cdot {}^a\!\log a + {}^b\!\log b \\
&= \dfrac{2}{3} + 1 = \dfrac{5}{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ \dfrac{5}{3}$
23. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)
Jika $log\ x=6$ dan $log\ y=12$, maka nilai $\sqrt{log\ \sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\cdots}}}}}}}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 4 \\
(C)\ & 8 \\
(D)\ & \sqrt{2} \\
(E)\ & 2\sqrt{2}
\end{align}$
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan perihal logaritma dan Bentuk akar, antara lain;
- ${}^a\!\log x\ +{}^a\!\log y={}^a\!\log \left(xy \right) $
- ${}^a\!\log a^{n}=n $
$\begin{align}
\text{misal}\ \sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\cdots}}}}}} & = 10^{m} \\
x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\cdots}}}}} & = 10^{2m} \\
x^{2} y\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\cdots}}}} & = 10^{4m} \\
x^{2} y \cdot 10^{m} & = 10^{4m} \\
x^{2} y & = \dfrac{10^{4m}}{10^{m}} \\
x^{2} y & = 10^{3m} \\
log\ \left( x^{2} y \right) & =log\ 10^{3m} \\
log\ x^{2} + log\ y & =3m \cdot log\ 10 \\
2 \cdot log\ x + log\ y & =3m \\
2 \cdot 6 + 12 & =3m \\
24 & =3m \\
8 &= m
\end{align}$
Jika kita kembali kepada soal, kita peroleh:
$\begin{align}
& \sqrt{log\ \sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y\cdots}}}}}}} \\
& = \sqrt{log\ 10^{m}} \\
& = \sqrt{log\ 10^{8}} \\
& = \sqrt{8} \\
& = 2\sqrt{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 2\sqrt{2}$
24. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2020
Diketahui sistem persamaan
$\left\{\begin{matrix}
4^{x}+5^{y}=6 \\
4^{\frac{x}{y}} = 5
\end{matrix}\right.$
Nilai $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & {}^3\!\log 4 \\
(B)\ & {}^3\!\log 20 \\
(C)\ & {}^3\!\log 5 \\
(D)\ & {}^3\!\log 25 \\
(E)\ & {}^3\!\log 6
\end{align}$
Dari sistem persamaan yang disampaikan di atas, kita mungkin butuh sedikit catatan calaon guru perihal logaritma yaitu:
- ${}^a\!\log x\ +{}^a\!\log y={}^a\!\log \left (x\cdot y \right )$
- ${}^a\!\log x= \dfrac{1}{{}^x\!\log a} $
$\begin{align}
4^{x}+5^{y} &= 6 \\
5^{y}+5^{y} &= 6 \\
2 \cdot 5^{y} &= 6 \\
5^{y} &= 3 \\
{}^5\!\log 3= y \\
\hline
4^{x} &= 5^{y}\\
4^{x} &= 5^{{}^5\!\log 3}\\
4^{x} &= 3 \\
{}^4\!\log 3= x
\end{align}$
$\begin{align}
\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} &= \dfrac{1}{{}^4\!\log 3}+\dfrac{1}{{}^5\!\log 3} \\
&= {}^3\!\log 4 + {}^3\!\log 5 \\
&= {}^3\!\log (4 \cdot 5) \\
&= {}^3\!\log 20
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ {}^3\!\log 20$
25. Soal SIMAK UI 2020 Kode 539 (*Soal Lengkap)
Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ memenuhi ${}^4\!\log x-{}^x\!\log 16= \dfrac{7}{6} - {}^x\!\log 8$, nilai $x_{1} \cdot x_{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \sqrt[3]{2} \\
(B)\ & \sqrt {3} \\
(C)\ & 2 \sqrt[3]{2} \\
(D)\ & 2\sqrt{3} \\
(E)\ & 4\sqrt[3]{2}
\end{align}$
$\begin{align}
{}^4\!\log x-{}^x\!\log 16 &= \dfrac{7}{6} - {}^x\!\log 8 \\
{}^{2^{2}}\!\log x-{}^x\!\log 2^{4} &= \dfrac{7}{6} - {}^x\!\log 2^{3} \\
\dfrac{1}{2} \cdot {}^{2}\!\log x-4 \cdot {}^x\!\log 2 &= \dfrac{7}{6} -3 \cdot {}^x\!\log 2 \\
\dfrac{1}{2} \cdot {}^{2}\!\log x- {}^x\!\log 2 &= \dfrac{7}{6} \\
\dfrac{1}{2} \cdot {}^{2}\!\log x- {}^x\!\log 2 &= \dfrac{7}{6}\ \cdots \text{dikali}\ 6 \\
3 \cdot {}^{2}\!\log x- 6 \cdot {}^x\!\log 2 &= 7
\end{align}$
$\begin{align}
\text{misal:}\ {}^{2}\!\log x=p & \\
3 \cdot p -6 \cdot \dfrac{1}{p} &= 7 \\
3p^{2} -6 &= 7p \\
3p^{2}-7p -6 &= 0 \\
(3p+2)(p-3) &= 0 \\
p=-\dfrac{2}{3}\ \text{atau}\ p=3 & \\
\hline
p=-\dfrac{2}{3}\ \Rightarrow\ & -\dfrac{2}{3}={}^{2}\!\log x \\
& x=2^{-\frac{2}{3}} \\
p=3\ \Rightarrow\ & 3={}^{2}\!\log x \\
& x=2^{3} \\
\hline
x_{1} \cdot x_{2} &= 2^{-\frac{2}{3}} \cdot 2^{3} \\
&= 2^{ \frac{7}{3}} \\
&= 4\sqrt[3]{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 4\sqrt[3]{2}$
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras- lembar tanggapan evaluasi harian matematika,
- lembar tanggapan evaluasi simpulan semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊
Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Masih menganggap matematika hanya hitung-hitungan semata, mari kita lihat kreativitas siswa ini;
Belum ada Komentar untuk "✔ Bank Soal Dan Pembahasan Matematika Dasar Logaritma"
Posting Komentar