✔ Bank Soal Dan Pembahasan Matematika Dasar Statistika Data Tunggal
Catatan calon guru yang kita diskusikan ketika ini akan membahas wacana Matematika Dasar Statistika Data Tunggal. Matematika dasar statistik data tunggal ini nantinya kan dikemabngkan pada statistika data berkelompok, jadi biar berguru statistika data tunggal kurang lengkap bila kita tidak juga coba pelajari statistik data berkelompok. Untuk mempermudah nantinya kita berguru statistika data berkelompok maka sebagai tahap awal mari kita mantapkan statistika data tunggal ini.
Penerapan statistik data tungga dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, diantaranya sanggup dilihat pada soal-soal yang kita diskusikan di bawah ini. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada statistik data tunggal juga sangatlah mudah, bila Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan dibawah ini, maka anda akan dengan gampang memahami soal-soal statistik data tunggal dan menemukan solusinya.
Matematika Dasar Statistika Data Tunggal yang akan kita coba diskusikan berikut berawal dari pertanyaan sederhana Bernat Yusuf Sihite.
"Pak saya ada pertanyaan" yaitu satu kalimat yang paling dinantikan oleh setiap guru bila masuk kelas pada umumnya. Jika ada guru yang tidak suka pada kalimat tersebut berarti ada yang salah pada guru tersebut sehingga guru tersebut sudah perli diberi pikinik beberapa ahad untuk 'merefresh' semangat keguruannya.
Kemarin beberapa menit sebelum jam pembelajaran selesai dan akan segera istirahat, salah satu generasi penerus bangsa yang ganteng di kelas saya namanya Bernat Yusuf Sihite mengangkat tangannya dan menyodorkan buku grafindo miliknya. Pak bagaimana menuntaskan soal ini tanyanya sambil mengatakan soal nomor 29. Karena soal yang tidak mengecewakan panjang, Bernat menuliskannya di papan tulis, ibarat tertulis sebagai berikut;
1. Bank Soal MG Bekasi
Skor-skor dalam suatu ujian diolah dengan menggunakan rumus $y=px+q$ dimana $p$ dan $q$ yaitu konstanta dan $x$ dan $y$ masing-masing yaitu skor mentah dan skor hasil. Jika mean dan simpangan baku skor mentah masing-masing yaitu $42$ dan $10$; dan mean dan simpangan baku skor hasil masing-masing yaitu $50$ dan $15$ maka nilai $ 2p-q $ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 16 \\
(B)\ & 15 \\
(C)\ & 14 \\
(D)\ & 13 \\
(E)\ & 12
\end{align}$
Dari apa yang disampaikan pada soal bahwa $ x $ yaitu skor mentah dimana mean-nya yaitu $42$, sehingga kita peroleh persamaan:
$ \dfrac{x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}=42 $
$ x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}=42n $
Begitu juga dengan $ y $ yaitu skor hasil dimana mean-nya yaitu $50$, sehingga kita peroleh persamaan:
$ \dfrac{y_{1}+y_{2}+\cdots +y_{n}}{n}=50 $
$ y_{1}+y_{2}+\cdots +y_{n}=50n $
$ px_{1}+q+px_{2}+q+\cdots +px_{n}+q=50n $
$ p\left ( x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n} \right )+nq=50n $
$ 42n\cdot p+nq=50n $
$ 42p+q=50 $
$ q=50-42p $
Pada soal juga disampaikan bahwa simpangan baku $ x $ dan $ y $ berturut-turut yaitu $10$ dan $15$, sehingga kita dapatkan persamaan sebagai berikut:
$ s^{2}=\dfrac{1}{n} \sum_{i}^{n}\left ( x_{i}-\bar{x}\right )^{2} $
$ 10^{2}=\dfrac{1}{n} \sum_{i}^{n}\left ( x_{i}-\bar{x}\right )^{2} $
$ 100n=\left ( x_{1}-42 \right )^{2}+\left ( x_{2}-42 \right )^{2}+\cdots +\left ( x_{n}-42 \right )^{2} $
$ 100n=x_{1}^{2}-84x_{1}+42^{2}+x_{2}^{2}-84x_{2}+42^{2}+\cdots+x_{n}^{2}-84x_{n}+42^{2} $
$ 100n=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}-84(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n})+n\cdot 42^{2} $
$ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}=100n+84(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n})-n\cdot 42^{2} $
$ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}=100n+84(42n)-n\cdot 42^{2} $
Dengan melaksanakan proses aljabar yang sama untuk skor hasil yaitu $ y $ kita memperoleh persamaan sebagai berikut:
$ y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots+y_{n}^{2}=225n+100(y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{n})-n\cdot 50^{2} $
$ y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots+y_{n}^{2}=225n+100(50n)-n\cdot 50^{2} $
Nilai $ y_{1}=px_{1}+q $ sehingga $ y_{1}^{2}=\left (px_{1} +q \right )^{2}=p^{2}x_{1}^{2}+2pqx_{1}+q^{2} $ hingga dengan $ y_{n}^{2}=\left (px_{n} +q \right )^{2}=p^{2}x_{n}^{2}+2pqx_{n}+q^{2} $
Dengan mensubstitusikan nilai $ y_{n}^{2}=p^{2}x_{n}^{2}+2pqx_{n}+q^{2} $, kini kita peroleh persamaan dengan bentuk sebagai berikut:
$ y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots+y_{n}^{2}$
$=225n+100(50n)-n\cdot 50^{2} $
$ p^{2} x_{1}^{2}+2pqx_{1}+q^{2}+\cdots +p^{2}x_{n}^{2}+2pqx_{n}+q^{2}$
$=225n+100(50n)-n\cdot 50^{2} $
$ p^{2} \left (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2} \right )+2pq\left (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right ) +nq^{2}$
$=225n+100(50n)-n\cdot 50^{2} $
$ p^{2} \left (100n+84(42n)-n\cdot 42^{2}\right )+2pq\left (42n\right ) +nq^{2}$
$=225n+100(50n)-n\cdot 50^{2} $
$ p^{2} \left (100+84(42)-42^{2}\right )+2pq\left (42\right ) +q^{2}$
$=225+100(50)-50^{2} $
$ p^{2} \left (50\cdot 2+2\cdot42\cdot42-42^{2}\right )+2pq\left (42\right ) +q^{2}$
$=225+2\cdot50\cdot50-50^{2} $
$ p^{2} \left (50\cdot 2+42^{2}\right )+2pq\left (42\right ) +q^{2}$
$=225+50^{2} $
$ p^{2} \left (50\cdot 2+42^{2}\right )+2p\left (50-42p \right )\left (42\right ) +\left (50-42p \right )^{2}$
$=225+50^{2} $
$ 100p^{2}+p^{2}42^{2}+4200p-2\cdot42^{2}p^{2}+50^{2}-2\cdot 50\cdot 42p+42^{2}p^{2}$
$=225+50^{2} $
$ 100p^{2}=2725-2500 $
$ p^{2}=\dfrac{225}{100} $
$ p^{2}=2,25 $
$ p=1,5 $
$ q=50-42p $
$ q=50-42\left (1,5 \right ) $
$ q=50-63 $
$ q=-13 $
...
$\therefore\ 2p-q=16 \, \, \, (A) $
Untuk menambah perbendaharaan kita wacana soal-soal statistika yang sudah pernah ditanyakan pada Ujian Nasional atau Ujian Masuk PTN, mari kita diskusikan beberapa soal berikut;
2. Soal SIMAK UI 2011 (*Soal Lengkap)
Jika rata-rata $20$ bilangan bundar nonnegative berbeda yaitu $20$, maka bilangan terbesar yang mungkin adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 210 \\
(B)\ & 229 \\
(C)\ & 230 \\
(D)\ & 239 \\
(E)\ & 240
\end{align}$
Jika $20$ bilangan bundar nonnegative kita misalkan $x_{1},\ x_{2},\ x_{3}, \cdots,\ x_{20}$, maka
$\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{n}}{n}=\bar{x}$
$\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{20}}{20}=20$
$x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{20}=400$
Agar kita peroleh $x_{20}$ bilangan yang terbesar yang mungkin maka kita harus beranggapan bahwa $x_{1},\ x_{2},\ x_{3}, \cdots\ x_{19}$ yaitu bilang bundar nonnegative berbeda yang terkecil yaitu $1,\ 2,\ 3,\ \cdots\ 19$, sehingga:
$x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{19}+x_{20}=400$
$1+2+3+\cdots +19+x_{20}=400$
$190+x_{20}=400$
$x_{20}=400-190$
$x_{20}=210$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ 210$
3. Soal SIMAK UI 2011 (*Soal Lengkap
Sebuah keluarga mempunyai $5$ orang anak. Anak tertua berumur $2$ kali dari umur anak termuda, sedangkan $3$ anak yang lainnya masing-masing berumur kurang $3$ tahun dari anak tertua, lebih $4$ tahun dari anak termuda, dan kurang $5$ tahun dari anak tertua. Jika rata-rata umur mereka yaitu $16$ tahun, maka kuadrat dari selisih umur anak kedua dan anak ketiga adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\
(B)\ & 6,25 \\
(C)\ & 9 \\
(D)\ & 12,25 \\
(E)\ & 20,25
\end{align}$
Jika kelima orang anak diurutkan dari anak pertama hingga anak kelima kita misalkan $a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\ a_{4},\ a_{5}$, maka umur mereka sanggup kita tuliskan dalam beberapa persamaan $a_{1}=2a_{5}$, $a_{1}-3$, $a_{5}+4$ dan $a_{1}-5$
$\dfrac{a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}}{5}=\bar{x}$
$\dfrac{a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}}{5}=16$
$a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}=90$
$a_{1} + a_{1}-3 + a_{5}+4 + a_{1}-5 + a_{5}=90$
$3a_{1} +2a_{5}-4=90$
$3a_{1} +2a_{5}=94$
$3a_{1} +a_{1}=94$
$4a_{1}=94$
$a_{1}=23,5$
$a_{5}=11,75$
$a_{1}-3=20,5$
$a_{1}-5=18,5$
$a_{5}+4=15,75$
kuadrat dari selisih umur anak kedua dan anak ketiga:
$\left (a_{2} - a_{3} \right )^{2}=\left (20,5-18,5 \right )^{2}$
$\left (a_{2} - a_{3} \right )^{2}=2^{2}=4$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ 4$
4. Soal SIMAK UI 2011 (*Soal Lengkap)
Pada suatu ujian yang diikuti oleh $50$ orang mahasiswa diperoleh nilai rata-rata ujian yaitu $30$ dengan median $40$, simpangan baku $15$, dan simpangan kuartil $25$. Untuk memperbaiki nilai rata-rata, semua nilai dikalikan $2$ kemudian dikurangi $10$. Akibat yang terjadi adalah...
$\begin{align}
(1)\ & \text{Meannya menjadi}\ 50 \\
(2)\ & \text{Simpangan bakunya menjadi}\ 30 \\
(3)\ & \text{Mediannya menjadi}\ 70 \\
(4)\ & \text{Simpangan kuartilnya menjadi}\ 50
\end{align}$
Misalkan Data Lama: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots\ x_{50}$
$\begin{align}
\bar{x}_{L} &=\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{50}}{50} \\
30&=\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{50}}{50} \\
1500&=x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{50} \\
\hline
Me&=\dfrac{1}{2}(x_{25}+x_{26}) \\
40&=\dfrac{1}{2}(x_{25}+x_{26}) \\
80&=x_{25}+x_{26} \\
\hline
s&=\sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left ( x_{i}-\bar{x} \right )^{2}} \\
15&=\sqrt{\dfrac{1}{50}\sum_{i=1}^{50}\left ( x_{i}-30 \right )^{2}} \\
15&=\sqrt{\dfrac{1}{50}\left (\left ( x_{1}-30 \right )^{2}+\left ( x_{2}-30 \right )^{2}+\cdots+\left ( x_{50}-30 \right )^{2} \right )} \\
\hline
Q_{d}&=\dfrac{1}{2}(Q_{3}-Q_{1}) \\
25&=\dfrac{1}{2}(x_{38}-x_{13}) \\
50&=x_{38}-x_{13}
\end{align}$
Data Baru: $2x_{1}-10,\ 2x_{2}-10,\ 2x_{3}-10,\ \cdots\ 2x_{50}-10$
$\begin{align}
\bar{x}_{B} &= \dfrac{2x_{1}-10+2x_{2}-10+2x_{3}-10+ \cdots+ 2x_{50}-10}{50} \\
&= \dfrac{2x_{1}-10+2x_{2}-10+2x_{3}-10+ \cdots+ 2x_{50}-10}{50} \\
&= \dfrac{2x_{1}+2x_{2}+2x_{3}+ \cdots+ 2x_{50}-50 \times 10}{50} \\
&= \dfrac{2(x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots+ x_{50})-50 \times 10}{50} \\
&= \dfrac{2(x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots+ x_{50})}{50}- \dfrac{50 \times 10}{50} \\
&= 2\left (\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots+ x_{50}}{50} \right )- 10 \\
&= 2\left ( 30 \right )- 10 \\
&= 50
\end{align}$
$\therefore$ Jika sudah paham langkah-langkah diatas untuk berikutnya sudah bisa menggunakan hukum bahwa rata-rata berubah mengikuti "tindakan" yang diberikan kepada setiap data.
Jika data usang rata-ratanya $30$ kemudian setiap data dikali $2$ dan dikurang $10$ maka rata-rata gres yaitu $2 \times 30 -10=50$
$\begin{align}
Me_{B} &=\dfrac{1}{2}(2x_{25}-10+2x_{26}-10) \\
&=\dfrac{1}{2}(2x_{25}+2x_{26}-20) \\
&=x_{25}+x_{26}-10 \\
&=80-10=70
\end{align}$
$\therefore$ Jika sudah paham langkah-langkah diatas untuk berikutnya sudah bisa menggunakan hukum bahwa median berubah mengikuti "tindakan" yang diberikan kepada setiap data.
Jika data usang mediannya $40$ kemudian setiap data dikali $2$ dan dikurang $10$ maka median gres yaitu $2 \times 40-10=70$
$\begin{align}
s &= \sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left ( x_{i}-\bar{x} \right )^{2}} \\
&= \sqrt{\dfrac{1}{50}\sum_{i=1}^{50}\left ( 2x_{i}-10-(2\bar{x}-10) \right )^{2}} \\
&= \sqrt{\dfrac{1}{50}\sum_{i=1}^{50}\left ( 2x_{i}-10-2\bar{x}+10 \right )^{2}} \\
&= \sqrt{\dfrac{1}{50}\sum_{i=1}^{50}\left ( 2x_{i} -2\bar{x} \right )^{2}} \\
&= \sqrt{\dfrac{1}{50}\sum_{i=1}^{50}(2^{2})\left ( x_{i} -\bar{x} \right )^{2}} \\
&= 2\sqrt{\dfrac{1}{50}\sum_{i=1}^{50} \left ( x_{i} -\bar{x} \right )^{2}} \\
&= 2(15)=30
\end{align}$
$\therefore$ Jika sudah paham langkah-langkah diatas untuk berikutnya sudah bisa menggunakan hukum bahwa simpangan baku berubah mengikuti "tindakan" untuk perkalian (pembagian) yang diberikan kepada setiap data.
Jika data usang simpangan bakunya $15$ kemudian setiap data dikali $2$ dan dikurang $10$ maka simpangan baku gres yaitu $2 \times 15=30$
$\begin{align}
Q_{d_{B}} &= \dfrac{1}{2}(Q_{3}-Q_{1}) \\
&=\dfrac{1}{2}\left ( \left (2x_{38}-10 \right )-\left (2x_{13}-10 \right ) \right ) \\
&=\dfrac{1}{2}\left ( 2x_{38}-10 - 2x_{13}+15 \right ) \\
&=\dfrac{1}{2}\left ( 2x_{38}- 2x_{13} \right ) \\
&= x_{38}- x_{13} \\
&= 50
\end{align}$
$\therefore$ Jika sudah paham langkah-langkah diatas untuk berikutnya sudah bisa menggunakan hukum bahwa simpangan quartil berubah mengikuti "tindakan" untuk perkalian (pembagian) yang diberikan kepada setiap data.
Jika data usang simpangan quartilnya $25$ kemudian setiap data dikali $2$ dan dikurang $10$ maka simpangan quartil gres yaitu $2 \times 25=50$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ (1)(2)(3)(4)$
5. Soal SBMPTN 2020 (*Soal Lengkap)
Diketahui median dan rata-rata berat tubuh $5$ balita yaitu sama. Setelah ditambah satu data berat tubuh balita, rata-ratanya meningkat $1\ kg$, sedangkan mediannya tetap. Jika $6$ data berat tubuh tersebut diurutkan dari yang paling ringan ke yang paling berat, maka selisih berat tubuh antara balita terakhir yang ditambahkan dan balita di urutan ke-4 adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\
(B)\ & \dfrac{9}{2} \\
(C)\ & 5 \\
(D)\ & 6 \\
(E)\ & \dfrac{13}{2}
\end{align}$
Misalkan
Data Lama: $b_{1},\ b_{2},\ b_{3},\ b_{4},\ b_{5}$
$\begin{align}
\bar{x}_{L} &= \dfrac{b_{1}+b_{2}+b_{3}+ b_{4} + b_{5}}{5} \\
b_{3} &= \dfrac{b_{1}+b_{2}+b_{3}+ b_{4} + b_{5}}{5} \\
5b_{3} &= b_{1}+b_{2}+b_{3}+ b_{4} + b_{5} \\
4b_{3} &= b_{1}+b_{2}+ b_{4} + b_{5} \\
\end{align}$
Data Baru: $b_{1},\ b_{2},\ b_{3},\ b_{4},\ b_{5},\ b_{b}$
$\begin{align}
\bar{x}_{B} &= \dfrac{b_{1}+b_{2}+b_{3}+ b_{4} + b_{5}+b_{b}}{6} \\
b_{3}+1 &= \dfrac{b_{1}+b_{2}+b_{3}+ b_{4} + b_{5}+b_{b}}{6} \\
6(b_{3}+1) &= b_{1}+b_{2}+b_{3}+ b_{4} + b_{5}+b_{b} \\
6b_{3}+6 &= b_{1}+b_{2}+b_{3}+ b_{4} + b_{5}+b_{b} \\
5b_{3}+6 &= b_{1}+b_{2}+ b_{4} + b_{5}+b_{b} \\
5b_{3}+6 &= 4b_{3}+b_{b} \\
b_{3}+6 &= b_{b}
\end{align}$
Karena masuknya data gres mengakibatkan rata-rata naik $1\ kg$ maka nilai $b_{b}$ lebih dari $b_{3}$, kemungkinan-kemungkinan urutan data adalah:
- $b_{1},\ b_{2},\ b_{3},\ b_{b},\ b_{4},\ b_{5}$
Nilai $b_{b}$ lebih dari $b_{3}$ sehingga pada kemungkinan ini median akan naik, sedangkan dikatakan median tetap $b_{3}$ maka pada posisi ini tidak memenuhi. - $b_{1},\ b_{2},\ b_{3},\ b_{4},\ b_{b},\ b_{5}$
pada kemungkinan ini alasannya yaitu median tetap sehingga $b_{3}=b_{4}$,
selisih $b_{b}-b_{4}$ yaitu $b_{3}+6-b_{3}=6$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ 6$
6.Soal SBMPTN 2020 (*Soal Lengkap)
Nilai ujian Matematika $30$ siswa pada suatu kelas berupa bilangan cacah tidak lebih daripada $10$. Rata-rata nilai mereka yaitu $8$ dan hanya terdapat $5$ siswa yang memperoleh nilai $7$. Jika $p$ menyatakan banyak siswa yang memperoleh nilai kurang dari $7$, maka nilai $p$ terbesar yang mungkin adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 5 \\
(B)\ & 9 \\
(C)\ & 14 \\
(D)\ & 7 \\
(E)\ & 11
\end{align}$
Misalkan Data: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots\ x_{30}$
$\begin{align}
\bar{x} &= \dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{30}}{30} \\
8 &= \dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{30}}{30} \\
240 &= x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{30} \\
240 &= x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{25}+\ 5 \times 7 \\
240 &= x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{25}+ 35 \\
205 &= x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{25}
\end{align}$
Agar nilai $p$ terbesar maka kita harap nilai $p$ semuanya yaitu $6$ dan nilai yang lebih dari $7$ yaitu $10$.
Jumlah $25$ nilai yang tidak $7$ yaitu $205$ dan nilainya dibutuhkan paling banyak yaitu $6$ kemudian $10$.
Jika semua nilai $6$ maka jumlahnya yaitu $6 \times 25 =150$, biar tercapai $205$ dibutuhkan ada nilai $10$.
Nilai $10$ yang dibutuhkan yaitu sebanyak $13$.
Alternatif cara memperoleh: $\dfrac{55}{4}=13\ \text{sisa}\ 3$ artinya dibutuhkan nilai $10$ sebanyak $13$ dan nilai $9$ sebanyak $1$.
Nilai $6$ yang paling banyak yaitu $30-5-13-1=11$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ 11$
7.Soal SBMPTN 2020 (*Soal Lengkap)
Jangkauan dan rata-rata nilai ujian $6$ siswa yaitu $6$. Jika median data tersebut yaitu $6$ dan selisih antara kuartil ke-1 dan ke-3 yaitu $4$, maka jumlah dua nilai ujian tertiggi adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 13 \\
(B)\ & 14 \\
(C)\ & 15 \\
(D)\ & 16 \\
(E)\ & 17
\end{align}$
Misalkan Data: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots\ x_{6}$
$\begin{align}
\bar{x} &= \dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{6}}{6} \\
6 &= \dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{6}}{6} \\
36 &= x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{6} \\
\hline
\text{Median} &= 6 \\
Me &= \dfrac{1}{2}(x_{3}+x_{4}) \\
6 &= \dfrac{1}{2}(x_{3}+x_{4}) \\
12 &= x_{3}+x_{4} \\
\hline
\text{Jangkauan}&= 6 \\
x_{6}-x_{1} &=6 \\
x_{1}&= x_{6}-6 \\
\hline
\text{Selisih Quartil}&= 4 \\
Q_{3}-Q_{1}&= 4 \\
x_{5}-x_{2} &= 4 \\
x_{2} &= x_{5}-4
\end{align}$
$\begin{align}
x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}+ x_{5} + x_{6} &= 36 \\
(x_{6}-6) + (x_{5}-4) + (12)+ x_{5} + x_{6} &= 36 \\
2x_{5}+2x_{6}+2 &= 36 \\
2x_{5}+2x_{6} &= 34 \\
x_{5}+x_{6} &= 17 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ 17$
8.Soal SBMPTN 2020 (*Soal Lengkap)
Rata-rata nilai ujian Matematika siswa di suatu kelas dengan $50$ siswa tetap sama meskipun nilai terendah dan tertinggi dikeluarkan. Jumlah nilai-nilai tersebut yaitu $350$. Jika data nilai-nilai ujian Matematika tersebut merupakan bilangan orisinil yang tidak lebih besar dari $10$, maka jangkauan data nilai yang mungkin ada sebanyak...
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 5
\end{align}$
Misalkan Data: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots\ x_{50}$
$\bar{x}=\dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{49}+x_{n}}{n}$
$\bar{x}=\dfrac{350}{50}$
$\bar{x}=7$
Rata-rata tetap bila $x_{1}$ dan $x_{50}$ dikeluarkan;
$\bar{x}=\dfrac{x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{49}}{48}$
$7=\dfrac{x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{49}}{48}$
$336=x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{49}$
$x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{49}+x_{n}$
$x_{1} + 336 + x_{50}=350$
$x_{1} +x_{50}=14$
Dengan $x_{1} +x_{50}=14$ dan $x_{1},\ x_{50}$ bilangan orisinil yang tidak lebih besar dari $10$.
Jangkauan data ($R=x_{50} -x_{1}$) yang mungkin yaitu ketika nilai $x_{50},\ x_{1}$ yaitu $10,\ 4$; $9,\ 5$; $8,\ 6$; $7,\ 7$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 4$
9.Soal SBMPTN 2020 (*Soal Lengkap)
Dalam suatu kelas terdapat $23$ siswa. Rata-rata nilai kuis aljabar mereka yaitu $7$. Terdapat hanya $2$ orang yang memperoleh nilai yang sama yang merupakan nilai tertinggi, serta hanya $1$ orang yang memperoleh nilai terendah. Rata-rata nilai mereka berkurang $0,1$ bila semua nilai tertinggi dan nilai terendah dikeluarkan. Jika semua nilai tersebut berupa bilangan cacah tidak lebih dari pada $10$, maka nilai terendah yang mungkin ada sebanyak...
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 5
\end{align}$
Misalkan Data: $x_{1},\ x_{2},\ \cdots\ x_{21},\ x_{22},\ x_{23}$
$\bar{x}=\dfrac{x_{1} + x_{2} + \cdots\ + x_{21}+ x_{22}+x_{23}}{23}$
$7=\dfrac{x_{1} + x_{2} + \cdots\ + x_{21}+ x_{22}+x_{23}}{23}$
$161=x_{1} + x_{2} + \cdots\ + x_{21}+ x_{22}+x_{23}$
Rata-rata berkurang $0,1$ bila $x_{22}, x_{23}$ dan $x_{1}$ dikeluarkan;
$\bar{x}=\dfrac{x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{21}}{20}$
$6,9=\dfrac{x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{21}}{20}$
$138=x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{21}$
$161=x_{1} + x_{2} + \cdots\ + x_{21}+ x_{22}+x_{23}$
$161=x_{1} + 138 + x_{22}+x_{23}$
Misalkan nilai terendah yaitu $m$ dan tertinggi yaitu $n$.
$161=m + 138 + n+n$
$23=m + 2n$
Semua nilai berupa bilangan cacah tidak lebih dari pada $10$, nilai $m$ yang mungkin adalah:
- $m=1$ maka $1 + 2n=23$ $\rightarrow\ n=11$ (TM)
- $m=2$ maka $2 + 2n=23$ $\rightarrow\ n=\frac{21}{2}$ (TM)
- $m=3$ maka $3 + 2n=23$ $\rightarrow\ n=10$
- $m=4$ maka $4 + 2n=23$ $\rightarrow\ n=\frac{19}{2}$ (TM)
- $m=5$ maka $5 + 2n=23$ $\rightarrow\ n=9$
- $m=6$ maka $6 + 2n=23$ $\rightarrow\ n=\frac{17}{2}$ (TM)
- $m=7$ maka $7 + 2n=23$ $\rightarrow\ n=8$ (TM) Sebagai materi bernalar, coba dipikirkan kenapa nilai $n$ diatas Tidak Memenuhi (TM)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ 2$
10.Soal SBMPTN 2020 (*Soal Lengkap)
Seorang siswa mengikuti $6$ kali ujian dengan nilai $5$ ujian pertama $6,\ 4,\ 8,\ 5$ dan $7$. Jika semua nilai dinyatakan dalam bilangan orisinil yang tidak lebih besar daripada $10$ dan rata-rata $6$ kali ujian lebih kecil dari mediannya, maka nilai ujian terakhir yang mungkin ada sebanyak...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 3 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 6 \\
(E)\ & 8
\end{align}$
Misalkan Data: $x_{1},\ x_{2},\ \cdots\, x_{5},\ x_{t}$
$\bar{x}=\dfrac{x_{1} + x_{2} + \cdots\ + x_{5}+x_{t}}{6}$
$\bar{x}=\dfrac{4 + 5 + 6 + 7+ 8+x_{t}}{6}$
$\bar{x}=\dfrac{30+x_{t}}{6}$
Pada data awal $4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8$ rata-rata yaitu $6$ dan median yaitu $6$.
Setelah ujian terakhir diikutkan rata-rata data lebih kecil dari median sehingga bila diurutkan, urutan data kemungkinannya yaitu sebagai berikut:
- $4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ x_{t}$
$\bar{x} \lt Me$
$\frac{1}{6}(30+x_{t}) \lt \frac{1}{2}(6+7) $
$30+x_{t} \lt 3(13) $
$30+x_{t} \lt 39 $
$x_{t} \lt 9 $
Nilai $x_{t}$ yang mungkin yaitu $8$ - $4,\ 5,\ 6,\ 7,\ x_{t},\ 8$
$\bar{x} \lt Me$
$\frac{1}{6}(30+x_{t}) \lt \frac{1}{2}(6+7) $
$30+x_{t} \lt 3(13) $
$30+x_{t} \lt 39 $
$x_{t} \lt 9 $
Nilai $x_{t}$ yang mungkin yaitu $7,\ 8$ - $4,\ 5,\ 6,\ x_{t},\ 7,\ 8,$
$\bar{x} \lt Me$
$\frac{1}{6}(30+x_{t}) \lt \frac{1}{2}(6+x_{t}) $
$30+x_{t} \lt 3(6+x_{t}) $
$30+x_{t} \lt 18+3x_{t} $
$30-18 \lt 3x_{t}-x_{t} $
$12 \lt 2x_{t} $
$6 \lt x_{t} $
Nilai $x_{t}$ yang mungkin yaitu $7$ - $4,\ 5,\ x_{t},\ 6,\ 7,\ 8,$
$\bar{x} \lt Me$
$\frac{1}{6}(30+x_{t}) \lt \frac{1}{2}(x_{t}+6) $
$30+x_{t} \lt 3(x_{t}+6) $
$30+x_{t} \lt 3x_{t}+18 $
$30-18 \lt 3x_{t}-x_{t} $
$12 \lt 2x_{t} $
$6 \lt x_{t} $
Nilai $x_{t}$ tidak ada yang mungkin - $4,\ x_{t},\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,$
$\bar{x} \lt Me$
$\frac{1}{6}(30+x_{t}) \lt \frac{1}{2}(5+6) $
$30+x_{t} \lt 3(11) $
$x_{t} \lt 33-30 $
$x_{t} \lt 3 $
Nilai $x_{t}$ tidak ada yang mungkin - $x_{t},\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,$
$\bar{x} \lt Me$
$\frac{1}{6}(30+x_{t}) \lt \frac{1}{2}(5+6) $
$30+x_{t} \lt 3(11) $
$x_{t} \lt 33-30 $
$x_{t} \lt 3 $
Nilai $x_{t}$ yang mungkin yaitu $1,\ 2$
11.Soal SPMB 2006 (*Soal Lengkap)
Suatu ujian di ikuti dua kelompok dan setiap kelompok terdiri dari $5$ siswa. Nilai rata-rata kelompok I yaitu $63$ dan kelompok II yaitu $58$. Seorang siswa kelompok I pindah ke kelompok II sehingga nilai rata-rata kelompok I menjadi $65$. Maka nikai rata-rata kelompok II kini adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 55,5 \\
(B)\ & 56 \\
(C)\ & 57,5 \\
(D)\ & 58 \\
(E)\ & 58,5
\end{align}$
Misalkan Kelompok $I$: $a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\ a_{4},\ a_{5}$
Kelompok $II$: $b_{1},\ b_{2},\ b_{3},\ b_{4},\ b_{5}$
$\bar{x}=\dfrac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}}{5}$
$63=\dfrac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}}{5}$
$315=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}$
$\bar{x}=\dfrac{b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}+b_{5}}{5}$
$58=\dfrac{b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}+b_{5}}{5}$
$290=b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}+b_{5}$
Seorang siswa Kelompok $I$ pindah ke Kelompok $II$ sehingga rata-rata Kelompok $I$ menjadi $65$;
$65=\dfrac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}}{4}$
$260=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}$
$315=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}$
$315=260+a_{5}$
$55=a_{5}$
Rata-rata kelompok II yang baru
$\bar{x}=\dfrac{b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}+b_{5}+a_{5}}{6}$
$\bar{x}=\dfrac{290+55}{6}$
$\bar{x}=\dfrac{345}{6}=57,5$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 57,5$
12.Soal SPMB 2006 (*Soal Lengkap)
Berat rata-rata $10$ siswa yaitu $60\ kg$. Salah seorang diantaranya diganti oleh Andi sehingga berat rata-ratanya menjadi $60,5\ kg$. Jika berat Andi $60\ kg$, maka berat siswa yang digantikan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 53 \\
(B)\ & 54 \\
(C)\ & 55 \\
(D)\ & 56 \\
(E)\ & 57
\end{align}$
Misalkan data: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots,\ x_{10}$
$\bar{x}=\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{10}}{10}$
$60=\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{10}}{10}$
$600=x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{10}$
Salah seorang digantikan Andi, kita misalkan $x_{1}$
$60,5=\dfrac{x_{A}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{10}}{10}$
$605=60+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{10}$
$545=x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{10}$
$600=x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{10}$
$600=x_{1}+545$
$x_{1}=600-545=55$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 55$
13.Soal SNMPTN 2009 (*Soal Lengkap)
Rata-rata sekelompok bilangan yaitu $40$. Ada bilangan yang bekerjsama yaitu $60$, tetapi terbaca $30$. Setelah dihitung kembali ternyata rata-rata yang benar yaitu $41$. Banyak bilangan dalam kelompok itu adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 20 \\
(B)\ & 25 \\
(C)\ & 30 \\
(D)\ & 42 \\
(E)\ & 45
\end{align}$
Misalkan data: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3}, \cdots ,\ x_{n}$
$\bar{x}=\dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{n}}{n}$
$40=\dfrac{30 + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{n}}{n}$
$40n=30 + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{n}$
$40n-30 = x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{n}$
$\bar{x}=\dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{n}}{n}$
$41=\dfrac{60 + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{n}}{n}$
$41n=60 + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{n}$
$41n=60 + 40n-30$
$n=30$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 30$
14.Soal SNMPTN 2012 (*Soal Lengkap)
Jika lima data mempunyai rata-rata $12$, median $12$, modus $15$, dan range (jangkauan) $7$, maka data kedua sesudah diurutkan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 9 \\
(B)\ & 10 \\
(C)\ & 11 \\
(D)\ & 12 \\
(E)\ & 13
\end{align}$
Misalkan data: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ x_{4},\ x_{5}$
$\text{Rata-rata}=12$
$\bar{x}=\dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5}}{5}$
$12=\dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5}}{5}$
$60=x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5}$
$\text{Median}=12$
$Me=x_{3}=12$
$\text{Range}=7$
$x_{5} - x_{1}=7$
$x_{5} - 7=x_{1}$
$60=x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5}$
$60=x_{5}-7 + x_{2} + 12 + x_{4} + x_{5}$
$60-5=x_{2}+ x_{4} + 2x_{5}$
$55=x_{2}+ x_{4} + 2x_{5}$
Karena $Me=x_{3}=12$ dan $Mo=15$ maka sanggup kita simpulkan $x_{4}=x_{5}=15$.
Nilai $x_{2}+ x_{4} + 2x_{5}=55$
$x_{2}+ 15 + 30=55$
$x_{2}=55-45$
$x_{2}=10$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ 10$
15.Soal SBMPTN 2014 (*Soal Lengkap)
Tiga puluh data mempunyai rata-rata $p$. Jika rata-rata $20 \%$ data diantaranya yaitu $p+0,1$, $40 \%$ lainnya yaitu $p-0,1$, $10 \%$ lainnya lagi yaitu $p-0,5$ dan rata-rata $30 \%$ data sisanya yaitu $p+q$, maka $q=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \frac{1}{5} \\
(B)\ & \frac{4}{15} \\
(C)\ & \frac{1}{3} \\
(D)\ & \frac{7}{30} \\
(E)\ & \frac{3}{10}
\end{align}$
Misalkan data: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots ,\ x_{30}$
$\bar{x}_{gab}=\dfrac{\bar{x}_{1} \cdot n_{1} + \bar{x}_{2} \cdot n_{2} + \bar{x}_{3} \cdot n_{3}+ \bar{x}_{4} \cdot n_{4}}{n_{1}+n_{2}+n_{3}+n_{4}}$
$p=\dfrac{(p+0,1) \cdot 6 + (p-0,1) \cdot 12 + (p-0,5) \cdot 3+ (p+q) \cdot 9}{6+12+3+9}$
$p=\dfrac{6p+0,6 + 12p-1,2 + 3p-1,5+ 9p+9q}{30}$
$p=\dfrac{30p+2,1+9q}{30}$
$30p=30p+2,1+9q$
$2,1=9q$
$q=\frac{2,1}{9}=\frac{21}{90}=\frac{7}{30}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ \frac{7}{30}$
16. Soal SIMAK UI 2013 (*Soal Lengkap)
Diketahui sebuah data terdiri dari $n$ bilangan orisinil yang pertama. Jika salah satu data dihapus, rata-rata data yang tersisa yaitu $\dfrac{61}{4}$, maka $n=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 26 \\
(B)\ & 27 \\
(C)\ & 28 \\
(D)\ & 29 \\
(E)\ & 30
\end{align}$
Untuk soal pilihan ganda, soal ini bisa cepat ditemukan jawabnya dengan menggunakan keterangan soal yaitu sesudah sebuah bilangan dihapus rata-ratanya yaitu $\dfrac{61}{4}=15,25$ sehingga banyak bilangan sesudah dihapus $(n-1)$ harus kelipatan $4$ dengan perkiraan bila $\dfrac{61}{4}$ dijumlahkan sebanyak $(n-1)$ kali balasannya harus bilangan asli, maka nilai $n$ yang memenuhi yaitu $n=29$.
Tetapi bila soal disajikan uraian maka cara kerjanya akan berbeda atau yang buat soal lebih berakal dalam menciptakan pilihan contohnya pilihan dirubah menjadi: $(A)\ 17\ (B)\ 21\ (C)\ 25\ (D)\ 29\ (E)\ 33$
Untuk $n$ bilangan orisinil pertama rata-ratanya adalah:
$\overline{x}=\dfrac{1+2+3+\cdots+n}{n}$
$\overline{x}=\dfrac{\dfrac{n(n+1)}{2}}{n}$
$\overline{x}=\dfrac{n+1}{2}$
$\overline{x}=\dfrac{n}{2}+\dfrac{1}{2}$
Jika bilangan terkecil dikurangi maka rata-ratanya adalah:
$\overline{x}_{b1}=\dfrac{2+3+\cdots+n}{n-1}$
$\overline{x}_{b1}=\dfrac{\dfrac{(n-1)}{2}\left (2(2)+(n-1-1)1 \right )}{n-1}$
$\overline{x}_{b1}=\dfrac{\dfrac{(n-1)}{2}\left (n+2 \right )}{n-1}$
$\overline{x}_{b1}=\dfrac{n+2}{2}$
$\overline{x}_{b1}=\dfrac{n}{2}+1$
$\overline{x}_{b1}=\overline{x}+\dfrac{1}{2}$
Jika bilangan terbesar dikurangi maka rata-ratanya adalah:
$\overline{x}_{b2}=\dfrac{1+2+3+\cdots+n-1}{n-1}$
$\overline{x}_{b2}=\dfrac{\dfrac{(n-1)}{2}\left (2(1)+(n-1-1)1 \right )}{n-1}$
$\overline{x}_{b2}=\dfrac{\dfrac{(n-1)}{2}\left (n \right )}{n-1}$
$\overline{x}_{b2}=\dfrac{n}{2}$
$\overline{x}_{b2}=\overline{x}-\dfrac{1}{2}$
Dari dua eksplorasi di atas untuk $n$ bilangan orisinil pertama bila salah satu bilangan dihapus maka rata-rata data yang gres berada pada rentang
$\overline{x}_{b2} \leq \overline{x}_{b} \leq \overline{x}_{b1}$.
$\overline{x}- \dfrac{1}{2} \leq \overline{x}_{b} \leq \overline{x}+\dfrac{1}{2}$.
Pada soal disampaikan bahwa rata-rata sesudah sebuah bilangan dihapus rata-ratanya yaitu $\dfrac{61}{4}=15,25$ maka:
- $\overline{x}- \dfrac{1}{2} \leq 15,25 \leq \overline{x}+\dfrac{1}{2}$
- $15,25 \leq \overline{x}+\dfrac{1}{2}$
$14,75 \leq \overline{x}$ - $\overline{x}- \dfrac{1}{2} \leq 15,25$
$\overline{x} \leq 15,75$
Dari pertidaksamaan diatas kita peroleh;
$14,75 \leq \overline{x} \leq 15,75$
$14,75 \leq \dfrac{n}{2}+\dfrac{1}{2} \leq 15,75$
$14,25 \leq \dfrac{n}{2} \leq 15,25$
$28,5 \leq n \leq 30,5$
$n$ yaitu banyak bilangan sehingga nilai $n$ yang memenuhi yaitu $29$ atau $30$. Karena sesudah sebuah bilangan dihapus rata-ratanya yaitu $\dfrac{61}{4}=15,25$ sehingga banyak bilangan $(n-1)$ sesudah dihapus harus kelipatan $4$ dengan perkiraan bila $\dfrac{61}{4}$ dijumlahkan sebanyak $(n-1)$ kali balasannya harus bilangan asli, maka nilai $n$ yang memenuhi yaitu $n=29$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ 29$
17. Soal SIMAK UI 2013 (*Soal Lengkap)
Diketahui sebuah data terdiri dari $n$ bilangan orisinil yang pertama. Jika salah satu data dihapus, rata-rata data yang tersisa yaitu $\dfrac{61}{4}$. Bilangan yang dihapus tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\
(B)\ & 9 \\
(C)\ & 10 \\
(D)\ & 11 \\
(E)\ & 12
\end{align}$
Untuk $n$ bilangan orisinil pertama rata-ratanya adalah:
$\overline{x}=\dfrac{1+2+3+\cdots+n}{n}$
$\overline{x}=\dfrac{\dfrac{n(n+1)}{2}}{n}$
$\overline{x}=\dfrac{n+1}{2}$
$\overline{x}=\dfrac{n}{2}+\dfrac{1}{2}$
Jika bilangan terkecil dikurangi maka rata-ratanya adalah:
$\overline{x}_{b1}=\dfrac{2+3+\cdots+n}{n-1}$
$\overline{x}_{b1}=\dfrac{\dfrac{(n-1)}{2}\left (2(2)+(n-1-1)1 \right )}{n-1}$
$\overline{x}_{b1}=\dfrac{\dfrac{(n-1)}{2}\left (n+2 \right )}{n-1}$
$\overline{x}_{b1}=\dfrac{n+2}{2}$
$\overline{x}_{b1}=\dfrac{n}{2}+1$
$\overline{x}_{b1}=\overline{x}+\dfrac{1}{2}$
Jika bilangan terbesar dikurangi maka rata-ratanya adalah:
$\overline{x}_{b2}=\dfrac{1+2+3+\cdots+n-1}{n-1}$
$\overline{x}_{b2}=\dfrac{\dfrac{(n-1)}{2}\left (2(1)+(n-1-1)1 \right )}{n-1}$
$\overline{x}_{b2}=\dfrac{\dfrac{(n-1)}{2}\left (n \right )}{n-1}$
$\overline{x}_{b2}=\dfrac{n}{2}$
$\overline{x}_{b2}=\overline{x}-\dfrac{1}{2}$
Dari dua eksplorasi di atas untuk $n$ bilangan orisinil pertama bila salah satu bilangan dihapus maka rata-rata data yang gres berada pada rentang
$\overline{x}_{b2} \leq \overline{x}_{b} \leq \overline{x}_{b1}$.
$\overline{x}- \dfrac{1}{2} \leq \overline{x}_{b} \leq \overline{x}+\dfrac{1}{2}$.
Pada soal disampaikan bahwa rata-rata sesudah sebuah bilangan dihapus rata-ratanya yaitu $\dfrac{61}{4}=15,25$ maka:
- $\overline{x}- \dfrac{1}{2} \leq 15,25 \leq \overline{x}+\dfrac{1}{2}$
- $15,25 \leq \overline{x}+\dfrac{1}{2}$
$14,75 \leq \overline{x}$ - $\overline{x}- \dfrac{1}{2} \leq 15,25$
$\overline{x} \leq 15,75$
Dari pertidaksamaan diatas kita peroleh;
$14,75 \leq \overline{x} \leq 15,75$
$14,75 \leq \dfrac{n}{2}+\dfrac{1}{2} \leq 15,75$
$14,25 \leq \dfrac{n}{2} \leq 15,25$
$28,5 \leq n \leq 30,5$
$n$ yaitu banyak bilangan sehingga nilai $n$ yang memenuhi yaitu $29$ atau $30$. Karena sesudah sebuah bilangan dihapus rata-ratanya yaitu $\dfrac{61}{4}=15,25$ sehingga banyak bilangan $(n-1)$ sesudah dihapus harus kelipatan $4$ dengan perkiraan bila $\dfrac{61}{4}$ dijumlahkan sebanyak $(n-1)$ kali balasannya harus bilangan asli, maka nilai $n$ yang memenuhi yaitu $n=29$.
Untuk $29$ bilangan orisinil pertama rata-ratanya adalah:
$\overline{x}=\dfrac{1+2+3+\cdots+n}{n}$
$\overline{x}=\dfrac{29+1}{2}=15$
Jika sebuah bilangan dihapus maka rata-ratanya adalah:
$\overline{x}=\dfrac{(1+2+3+\cdots+29)-x}{n-1}$
$\dfrac{61}{4}=\dfrac{(1+2+3+\cdots+29)-x}{28}$
$\dfrac{61}{4} \times 28= 1+2+3+\cdots+29 -x$
$427= 1+2+3+\cdots+29 -x$
$427= 435 -x$
$x= 435-427=8 $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ 8$
18. Soal SIMAK UI 2013 Kode 334 (*Soal Lengkap)
Data hasil pengukuran tinggi dari sembilan pohon yangsedang dalam pengamatan yaitu sebagai berikut:
Nilai data tertinggi - data terendah adalah....
- Semua data beruap bilangan bundar tak nol
- Mean=median=modus=$3$
- Berdasarkan frekuensinya data terdiri dari 3 kelompok
- Jumlah kuadrat semua data yaitu $105$
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\
(B)\ & 5 \\
(C)\ & 6 \\
(D)\ & 7 \\
(E)\ & 6
\end{align}$
Jika $9$ tinggi pohon berupa bilangan orisinil kita misalkan $x_{1},\ x_{2},\ x_{3}, \cdots,\ x_{9}$, maka
$\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{n}}{n}=\bar{x}$
$\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{9}}{9}=3$
$x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{9}=27$
Karena $median\ =\ modus\ =\ 3$, menurut frekuensi data terbagi menjadi tiga kelompok dan jumlah kuadrat yaitu $105$, maka beberapa kemungkinan data yaitu sebagai berikut;
- $x_{1}+7 \times 3 +x_{9}=27$
$x_{1}+x_{9}=27-21=6$
- $x_{1}=1$ dan $x_{9}=5$ maka Jumlah kuadrat $1^{2}+7 \times 3^{2}+5^{2}=89$ (TM)
- $x_{1}=2$ dan $x_{9}=4$ maka jumlah kuadrat $2^{2}+7 \times 3^{2}+4^{2}=83$ (TM)
- $x_{1}+x_{2}+6 \times 3 +x_{9}=27$
$x_{1}+x_{2}+x_{9}=27-18=9$
- $x_{1}=1,\ x_{2}=2$ dan $x_{9}=6$ maka jumlah kuadrat $1^{2}+2^{2}+6 \times 3^{2}+6^{2}=95$ (TM)
- $x_{1}=x_{2}=1$ dan $x_{9}=7$ maka jumlah kuadrat $1^{2}+1^{2}+6 \times 3^{2}+7^{2}=105$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 6$
19. Soal SBMPTN 2020 Kode 526 (*Soal Lengkap)
Sebelas siswa mengikuti suatu tes dan median nilai tes mereka yaitu $91$. Jika sudah diketahui tiga siswa memperoleh nilai $100$, satu siswa memperoleh nilai $96$, tiga siswa memperoleh nilai $90$, serta dua siswa memperoleh nilai $86$, maka nilai dua siswa yang belum diketahui yang paling mungkin adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 100\ \text{dan}\ 100 \\
(B)\ & 100\ \text{dan}\ 90 \\
(C)\ & 95\ \text{dan}\ 90 \\
(D)\ & 93\ \text{dan}\ 91 \\
(E)\ & 91\ \text{dan}\ 86
\end{align}$
Nilai $11$ siswa kita misalkan sebagai berikut:
$x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ x_{4},\ x_{5},\ x_{6},\ x_{7},\ x_{8},\ x_{9},\ x_{10},\ x_{11}$
Karena nilai sudah ada yang diketahui, menjadi:
$x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ x_{4},\ x_{5},\ (91),\ x_{7},\ x_{8},\ 100,\ 100,\ 100$
$86,\ 86,\ x_{3},\ x_{4},\ x_{5},\ (91),\ x_{7},\ x_{8},\ 100,\ 100,\ 100$
Untuk nilai $90$ tempatnya:
$86,\ 86,\ 90,\ 90,\ 90,\ (91),\ x_{7},\ x_{8},\ 100,\ 100,\ 100$
Untuk letak nilai $96$ ada di dua kemungkinan:
$86,\ 86,\ 90,\ 90,\ 90,\ (91),\ 96,\ x_{8},\ 100,\ 100,\ 100$
$86,\ 86,\ 90,\ 90,\ 90,\ (91),\ x_{7},\ 96,\ 100,\ 100,\ 100$
Nilai yang mungkin pada pilihan yaitu $91$ dan $93$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ 93\ \text{dan}\ 91$
20. Soal SBMPTN 2020 Kode 527 (*Soal Lengkap)
Sebelas siswa mengikuti suatu tes. Guru mengumumkan bahwa jangkauan data nilai siswa tersebut yaitu $15$. Jika diumumkan tiga siswa memperoleh nilai $100$, satu siswa memperoleh nilai $96$, tiga siswa memperoleh nilai $90$, serta dua siswa memperoleh nilai $86$, maka nilai dua siswa yang belum diketahui yang paling mungkin adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 99\ \text{dan}\ 85 \\
(B)\ & 99\ \text{dan}\ 88 \\
(C)\ & 95\ \text{dan}\ 91 \\
(D)\ & 89\ \text{dan}\ 87 \\
(E)\ & 85\ \text{dan}\ 84
\end{align}$
Nilai $11$ siswa kita misalkan sebagai berikut:
$x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ x_{4},\ x_{5},\ x_{6},\ x_{7},\ x_{8},\ x_{9},\ x_{10},\ x_{11}$
Karena nilai sudah ada yang diketahui, menjadi:
$x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ x_{4},\ x_{5},\ x_{6},\ x_{7},\ x_{8},\ 100,\ 100,\ 100$
Jangkaun data yaitu $100-x_{1}=15$ maka $x_{1}=85$
$(85),\ x_{2},\ x_{3},\ x_{4},\ x_{5},\ x_{6},\ x_{7},\ x_{8},\ 100,\ 100,\ 100$
Letak nilai $86$ dan $86$:
$(85),\ 86,\ 86,\ x_{4},\ x_{5},\ x_{6},\ x_{7},\ x_{8},\ 100,\ 100,\ 100$
Letak nilai $90,90,90$, dan $96$:
$(85),\ 86,\ 86,\ 90,\ 90,\ 90,\ 96,\ x_{8},\ 100,\ 100,\ 100$
$(85),\ 86,\ 86,\ 90,\ 90,\ 90,\ x_{8},\ 96,\ 100,\ 100,\ 100$
$(85),\ 86,\ 86,\ x_{4},\ 90,\ 90,\ 90,\ 96,\ 100,\ 100,\ 100$
Nilai yang mungkin pada pilihan yaitu $85$ dan $99$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ 99\ \text{dan}\ 85$
21. Soal SIMAK UI 2020 Kode 641 (*Soal Lengkap)
Rata-rata tiga bilangan yaitu $10$ lebihnya dibandingkan dengan bilangan terkecil dan $8$ kurangnya dibandingkan dengan bilangan terbesar. Jika median ketiga bilangan tersebut yaitu $14$, maka...
$(1)\ $ jangkauannya yaitu $18$
$(2)\ $ variansianya yaitu $84$
$(3)\ $ jumlahnya yaitu $36$
$(4)\ $ simpangan rata-ratanya yaitu $\dfrac{20}{3}$
Kita misalkan ketiga bilangan tersebut bila kita urutkan dari yang terkecil yaitu $a,14,b$
$ \begin{align}
\overline{x} & = \dfrac{a+14+b}{3} \\
a+10 & = \dfrac{a+14+b}{3} \\
3a+30 & = a+14+b \\
2a-b & = -16\ \text{pers.(1)}\\
\overline{x} & = \dfrac{a+14+b}{3} \\
b-8 & = \dfrac{a+14+b}{3} \\
3b-24 & = a+14+b \\
2b-a & = 38\ \text{pers.(2)}
\end{align} $
Dari persamaan yang kita peroleh di atas;
$\begin{array}{c|c|cc}
2a-b = -16\ & (\times 1) \\
2b-a =38\ & (\times 2) \\
\hline
2a-b = -16 & \\
4b-2a=76 & (+) \\
\hline
3b = 60 &\\
b = 20 &\\
a = 2(b)-38=2 &
\end{array} $
Ketiga bilangan yaitu $2,14,20$ dengan $\overline{x}=12$
Pembahasan untuk setiap point coba kita jabarkan
- Untuk point $(1)$ pernyataan jangkauannya yaitu $18$ yaitu BENAR, alasannya yaitu $J=20-2=18$
- Untuk point $(2)$ pernyataan variansianya yaitu $84$ yaitu BENAR
Varians yang kita pakai yaitu varians untuk sampel, dirumuskan$ \begin{align}
S^{2} & = \dfrac{\sum \limits_{i=1}^{n}(\overline{x}-x_{i})^{2}}{n-1} \\
& = \dfrac{(12-2)^{2}+(14-12)^{2}+(20-12)^{2}}{3-1} \\
& = \dfrac{100+4+64}{2} \\
& = \dfrac{168}{2}= 84
\end{align} $ - Untuk point $(3)$ pernyataan jumlahnya yaitu $36$ yaitu BENAR, alasannya yaitu $2+14+20=36$
- Untuk point $(4)$ pernyataan simpangan rata-ratanya yaitu $\dfrac{20}{3}$ yaitu BENAR
$ \begin{align}
SR & = \dfrac{\sum \limits_{i=1}^{n} | \overline{x}-x_{i}| }{n} \\
& = \dfrac{|12-2|+|14-12|+|20-12|}{3} \\
& = \dfrac{10+2+8}{3} \\
& = \dfrac{20}{3}
\end{align} $
22. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)
Dari $5$ buah bilangan, bilangan yang terkecil $40$ dan terbesar $75$. Jika mediannya $50$ dan rata-ratanya $\bar{x}$, maka...
$\begin{align}
(A)\ & 47 \leq \bar{x} \leq 63 \\
(B)\ & 47 \leq \bar{x} \leq 68 \\
(C)\ & 49 \leq \bar{x} \leq 63 \\
(D)\ & 51 \leq \bar{x} \leq 58 \\
(E)\ & 51 \leq \bar{x} \leq 68 \\
\end{align}$
Catatan calon guru wacana statistika yang mungkin membantu yaitu rata-rata sebuah data sanggup kita tentukan dengan $\bar{x}=\dfrac{x_{1} +x_{2} +x_{3}+ \cdots+ x_{n}}{n}$.
Dari $5$ buah bilangan $x_{min}=40$, $x_{max}=75$, dan $Me=50$
Kemungkinan rata-rata terkecil terjadi ketika $40,40,50,50,75$
$\begin{align}
\bar{x} &= \dfrac{x_{1} +x_{2} +x_{3} + \cdots +x_{n}}{n} \\
&= \dfrac{40 +40+50 +50+75}{5} \\
&= \dfrac{255}{5}=51
\end{align} $
Kemungkinan rata-rata terbesar terjadi ketika $40,50,50,75,75$
$\begin{align}
\bar{x} &= \dfrac{x_{1} +x_{2} +x_{3} + \cdots +x_{n}}{n} \\
&= \dfrac{40 +50+50 +75+75}{5} \\
&= \dfrac{290}{5}=58
\end{align} $
Rentang nilai rata-rata $\bar{x}$ yaitu $51 \leq \bar{x} \leq 58$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ 51 \leq \bar{x} \leq 58$
23. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)
Nilai rata-rata ulangan kelas $A$ yaitu $\bar{x}_{A}$ dan kelas $B$ yaitu $\bar{x}_{B}$. Setelah kedua kelas digabung, nilai rata-ratanya yaitu $\bar{x}$. Jika $\bar{x}_{A}:\bar{x}_{B}=10:9$ dan $\bar{x}:\bar{x}_{B}=85:81$, maka perbandingan banyaknya siswa di kelas $A$ dan $B$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 8:9 \\
(B)\ & 9:8 \\
(C)\ & 4:5 \\
(D)\ & 5:4 \\
(E)\ & 3:5 \\
\end{align}$
Catatan calon guru wacana statistika yang mungkin membantu yaitu Rata-rata adonan sanggup kita tentukan dengan hukum $\bar{x}_{gab}=\dfrac{\bar{x}_{1} \cdot n_{1}+\bar{x}_{2} \cdot n_{2}+\bar{x}_{3} \cdot n_{3}}{n_{1}+n_{2}+n_{3}}$.
$\begin{align}
\dfrac{\bar{x} }{\bar{x}_{B}} &= \dfrac{85}{81} \\
\dfrac{\bar{x} }{\bar{x}_{B}} &= \dfrac{85p}{81p} \\
\bar{x} &= 85p \\
\bar{x}_{B} &= 81p \\
\hline
\dfrac{\bar{x}_{A}}{\bar{x}_{B}} &= \dfrac{10}{9} \\
\dfrac{\bar{x}_{A}}{\bar{x}_{B}} &= \dfrac{10}{9} \times \dfrac{9p}{9p} \\
\dfrac{\bar{x}_{A}}{\bar{x}_{B}} &= \dfrac{90p}{81p} \\
\bar{x}_{A} &= 90p \\
\end{align} $
$\begin{align}
\bar{x}_{gab}&=\dfrac{\bar{x}_{A} \cdot n_{A}+\bar{x}_{B} \cdot n_{B}}{n_{A}+n_{B}} \\
\bar{x} &=\dfrac{\bar{x}_{A} \cdot n_{A}+\bar{x}_{B} \cdot n_{B}}{n_{A}+n_{B}} \\
85p &=\dfrac{90p \cdot n_{A}+81p \cdot n_{B}}{n_{A}+n_{B}} \\
85p \cdot n_{A}+ 85p \cdot n_{B} &= 90p \cdot n_{A}+81p \cdot n_{B} \\
85p \cdot n_{B}- 81p \cdot n_{B} &= 90p \cdot n_{A} - 85p \cdot n_{A} \\
4p \cdot n_{B} &= 5p \cdot n_{A} \\
\dfrac{4p}{5p} &= \dfrac{n_{A}}{n_{B}} \\
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 4:5$
24. Soal UNBK Matematika IPA 2020 (*Soal Lengkap)
Diketahui data: $7,6,2,p,3,4$. Jika rata-rata dari data tersebut sama dengan mediannya banyaknya nilai $p$ yang mungkin untuk $p$ bilangan orisinil adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 5
\end{align}$
Data $7,6,2,p,3,4$, maka $\bar{x} = \dfrac{p+2+3+4+6+7}{6}= \dfrac{22+p}{6}$.
Karena rata-rata dari data tersebut sama dengan mediannya, sehingga bila pada semua kemungkinan nilai $p$ data diurutkan dari yang terkecil ke terbesar kemungkinannya adalah
- $p, 2,3,4,6,7$
$p$ yang mungkin yaitu $1$ atau $2$ sehingga $\bar{x}= \dfrac{23}{6}=3,8...$ atau $\bar{x}= \dfrac{24}{6}=4$ dan $Me=3,5$ - $2, p,3,4,6,7$
$p$ yang mungkin yaitu $3$ sehingga $\bar{x}= \dfrac{25}{6}=4,1..$ dan $Me=3,5$ - $2,3,p,4,6,7$
$p$ yang mungkin yaitu $4$ sehingga $\bar{x}= \dfrac{26}{6}$ dan $Me=3,5$ - $2,3,4,p,6,7$
$p$ yang mungkin yaitu $5$ sehingga $\bar{x}= \dfrac{27}{6}=4,5$ dan $Me=4,5$ - $2,3,4,6,p,7$
$p$ yang mungkin yaitu $6$ sehingga $\bar{x}= \dfrac{28}{6}=4,6..$ dan $Me=4,5$ - $2,3,4,6,7,p$
$p$ yang mungkin yaitu $7,8,\cdots$ sehingga $\bar{x}= \dfrac{29}{6}=4,8..$ atau lebih dari $4,8$ dan $Me=4,5$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ 1$
25. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2020
Nilai matematika $7$ orang siswa, sesudah diurutkan yaitu sebagai berikut: $a,b,c,7,d,d,9$. Jika rata-rata semua siswa $7$ dan rata-rata $3$ nilai terendah $\dfrac{17}{3}$, maka rata-rata $3$ nilai terbaik adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\
(B)\ & \dfrac{25}{3} \\
(C)\ & \dfrac{26}{3} \\
(D)\ & 9 \\
(E)\ & \dfrac{28}{3}
\end{align}$
Nilai keseluruhan sesudah diurutkan $a,b,c,7,d,d,9$
$\begin{align}
\bar{x} &= \dfrac{a+b+c+7+d+d+9}{7} \\
7 &= \dfrac{a+b+c+d+d+16}{7} \\
49 &= a+b+c+d+d+16 \\
33 &= a+b+c+d+d
\end{align}$
Rata-rata $3$ nilai terendah $\dfrac{17}{3}$
$\begin{align}
\bar{x} &= \dfrac{a+b+c}{3} \\
\dfrac{17}{3} &= \dfrac{a+b+c}{3} \\
17 &= a+b+c \\
\hline
33 &= a+b+c+d+d\\
33 &= 17+d+d\\
16 &=2d \\
8 &= d
\end{align}$
Rata-rata $3$ nilai terbaik adalah
$\begin{align}
\bar{x} &= \dfrac{d+d+9}{3} \\
&= \dfrac{8+8+9}{3} \\
&= \dfrac{25}{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ \dfrac{25}{3}$
26. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2020
Diketahui bilangan $a,b,5,3,7,6,6,6,6,6$ dengan rata-rata $5$ dan variansinya $\dfrac{13}{5}$. Nilai $ab=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 4 \\
(C)\ & 6 \\
(D)\ & 8 \\
(E)\ & 10
\end{align}$
Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat wacana statistika data tunggal terkhusus Varians untuk data tunggal. Rumus varians data untuk populasi yaitu
$S^{2} = \dfrac{\sum \limits_{i=1}^{n}(\overline{x}-x_{i})^{2}}{n}$ atau $S^{2}=\overline{x^{2}}-(\overline{x})^{2}$
Dari data pada soal diketahui $\overline{x}=5$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
\overline{x} &= \dfrac{a+b+5+3+7+6 \cdot 5}{10} \\
5 &= \dfrac{a+b+45}{10} \\
50 &= a+b+45 \\
5 &= a+b \\
\end{align}$
Diketahui variansinya $\dfrac{13}{5}$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
S^{2} & = \dfrac{\sum \limits_{i=1}^{n}(\bar{x}-x_{i})^{2}}{n} \\
\dfrac{13}{5} &= \dfrac{(5-a)^{2}+(5-b)^{2}+(5-5)^{2}+(5-3)^{2}+(5-7)^{2}+5 \cdot (5-6)^{2}}{10} \\
26 &= a^{2}-10a+25+b^{2}-10b+25+0+4+4+5 \\
26 &= a^{2}+b^{2}-10(a+b) +63 \\
26-63 &= (a +b)^{2}-2ab-10(a+b) \\
-37 &= (5)^{2}-2ab-10(5) \\
-37 &= 25-2ab-50 \\
2ab &= -25+37=12 \\
ab &= 6
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 6$
27. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2020
Bilangan-bilangan bundar $a,a+1,a+1,7,b,b,9$ telah diurutkan dari terkecil ke yang terbesar. Jika rata-rata semua bilangan itu yaitu $7$ dan simpangan rata-ratanya $\dfrac{8}{7}$, maka $a+b-1=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 10 \\
(B)\ & 11 \\
(C)\ & 12 \\
(D)\ & 13 \\
(E)\ & 14
\end{align}$
Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat wacana statistika data tunggal terkhusus simpangan rata-rata untuk data tunggal. Rumus simpangan rata-rata (deviasi rata-rata) yaitu
$ SR=\dfrac{\sum_{i}^{n}\left | x_{i}-\overline{x} \right |}{n}$
Dari data pada soal diketahui $\overline{x}=7$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
\overline{x} &= \dfrac{a+a+1+a+1+7+b+b+9}{7} \\
7 &= \dfrac{3a+2b+18}{7} \\
49 &= 3a+2b+18 \\
31 &= 3a+2b
\end{align}$
Diketahui simpangan rata-ratanya $\dfrac{8}{7}$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
SR &=\dfrac{\sum_{i}^{n}\left | x_{i}-\overline{x} \right |}{n} \\
\dfrac{8}{7} &=\dfrac{\left | a-7 \right |+2\left | a+1-7 \right |+\left | 7-7 \right |+2\left | b-7 \right |+\left | 9-7 \right | }{7} \\
8 &= 7-a+2(6-a)+0+2(b-7)+2\\
8 &= 7-a+12-2a+2b-14+2\\
1 &= -3a+2b
\end{align}$
$\begin{array}{c|c|cc}
3a+2b = 31 & \\
-3a+2b = 1 & (+) \\
\hline
4b = 32 & \\
b = 8 & \\
a = 5
\end{array} $
Nilai dari $a+b-1=8+5-1=12$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 12$
28. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2020
Rata-rata $50$ bilangan dalam bentuk $m$ dan $n$ yaitu $x$. Jika rata-rata $m$ yaitu $a$ maka rata-rata $n$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{50x-am}{50a-m} \\
(B)\ & \dfrac{50mx-a}{50m-a} \\
(C)\ & \dfrac{50mx-am}{50m-a} \\
(D)\ & \dfrac{50x-am}{50-m} \\
(E)\ & \dfrac{50ax-am}{50a-m}
\end{align}$
Rumus rata-rata adonan yaitu
$\begin{align}
\overline{x}_{gab} &=\dfrac{\overline{x}_{m} \cdot n_{m}+\overline{x}_{n} \cdot n_{n}}{ {n}_{m} + n_{n}} \\
x &=\dfrac{\overline{x}_{m} \cdot n_{m}+\overline{x}_{n} \cdot n_{n}}{ 50} \\
50 x &= \overline{x}_{m} \cdot n_{m}+\overline{x}_{n} \cdot n_{n} \\
50 x &= a \cdot n_{m}+ \overline{x}_{n} \cdot \left( 50-n_{m} \right) \\
\overline{x}_{n} \cdot \left( 50-n_{m} \right) &= 50 x- a \cdot n_{m} \\
\overline{x}_{n} &= \dfrac{50 x- a \cdot n_{m}}{ 50-n_{m}} \\
\end{align}$
Untuk data $m$ dengan rata-rata $a$ berlaku:
$\begin{align}
\overline{x}_{m} &= \dfrac{m}{n_{m}} \\
a &= \dfrac{m}{n_{m}} \\
n_{m} &= \dfrac{m}{a}
\end{align}$
$\begin{align}
\overline{x}_{n}&= \dfrac{50 x- a \cdot n_{m}}{ 50-n_{m}} \\
\overline{x}_{n}&= \dfrac{50 x- a \cdot \dfrac{m}{a}}{ 50-\dfrac{m}{a}} \\
\overline{x}_{n}&= \dfrac{50 x- m}{ \dfrac{50a-m}{a}} \\
\overline{x}_{n}&= \dfrac{50a x- am}{ 50a-m }
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ \dfrac{50ax-am}{50a-m}$
29. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2020
Sekumpulan bilangan mempunyai nilai rata-rata $25$ dengan jangkauan $10$. Jika setiap bilangan tersebut dikurangi dengan $a$, kemudian hasinya dibagi dengan $b$, akan menghasilkan bialngan gres dengan rata-rata $15$ dan jangkauan $5$. Nilai $2a+5b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 6 \\
(B)\ & 5 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 3 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Misalkan sekumpulan bilangan sebelum menerima tindakan kita sebut "Data Lama": $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots\ x_{n}$
$\begin{align}
\bar{x}_{L} &=\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{n}}{n} \\
25 &=\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{50}}{25} \\
25n &=x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{n} \\
\hline
R &= x_{n}-x_{1} \\
10 &= x_{n}-x_{1}
\end{align}$
Misalkan sekumpulan bilangan sesudah menerima tindakan kita sebut "Data Baru", dimana setiap data usang dikurangi dengan $a$, kemudian hasinya dibagi dengan $b$.
$\dfrac{x_{1}-a}{b},\ \dfrac{x_{2}-a}{b},\ \cdots\ \dfrac{x_{n}-a}{b}$
$\begin{align}
\bar{x}_{B} &=\dfrac{\dfrac{x_{1}-a}{b}+\dfrac{x_{2}-a}{b} + \cdots + \dfrac{x_{n}-a}{b}}{n} \\
15 &=\dfrac{\dfrac{x_{1}-a}{b}+\dfrac{x_{2}-a}{b} + \cdots + \dfrac{x_{n}-a}{b}}{n} \\
15n &= \dfrac{x_{1}-a}{b}+\dfrac{x_{2}-a}{b} + \cdots + \dfrac{x_{n}-a}{b} \\
15nb &= x_{1}-a + x_{2}-a + \cdots + x_{n}-a \\
15nb &= x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}- an \\
15nb &= 25n - an \\
15 b &= 25 - a \\
15 b +a &= 25
\end{align}$
$\therefore$ Jika sudah paham langkah-langkah diatas untuk berikutnya sudah bisa menggunakan hukum bahwa rata-rata berubah mengikuti "tindakan" yang diberikan kepada setiap data.
Jika data usang rata-ratanya $25$ kemudian setiap data dikurang $a$ dan dibagi $b$ maka rata-rata gres yaitu $15=\dfrac{25-a}{b}$
$\begin{align}
R &= \dfrac{x_{n}-a}{b}-\dfrac{x_{1}-a}{b} \\
5 &= \dfrac{x_{n}-x_{1}}{b} \\
5 &= \dfrac{10}{b} \\
5b &= 10 \\
b &= 2
\end{align}$
$\therefore$ Jika sudah paham langkah-langkah diatas untuk berikutnya sudah bisa menggunakan hukum bahwa jangkauan berubah mengikuti "tindakan perkalian atau pembagian" yang diberikan kepada setiap data.
Jika data usang jangkauannya $10$ kemudian setiap data dikurang $a$ dan dibagi $b$ maka jangkauan gres yaitu $5 = \dfrac{10}{b}$.
Berdasarkan apa yang kita peroleh di atas $b = 2$ dan $15 b +a = 25$ maka $2a+5b=5$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ 5$
30. Soal UNBK Matematika Sekolah Menengan Atas IPS 2020 (*Soal Lengkap)
Diketahui data $2,6,7,1,4$. Varians data tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 5,4 \\
(B)\ & 5,8 \\
(C)\ & 6,0 \\
(D)\ & 6,2 \\
(E)\ & 6,5
\end{align}$
Materi pokok dari soal ini yaitu Statistika data tunggal, sebagai embel-embel soal latihan silahkan dicoba 👀 Soal dan Pembahasan Statistika data tunggal.
Rumus varians data untuk populasi yaitu
$S^{2} = \dfrac{\sum \limits_{i=1}^{n}(\overline{x}-x_{i})^{2}}{n}$ atau $S^{2}=\overline{x^{2}}-(\overline{x})^{2}$
Dari data pada soal sanggup kita hitung rata-rata:
$\begin{align}
\overline{x} &= \dfrac{1+2+4+6+7}{5} \\
&= \dfrac{20}{5} \\
&= 4 \\
\end{align}$
Varians data tersebut adalah:
$\begin{align}
S^{2} & = \dfrac{\sum \limits_{i=1}^{n}(\bar{x}-x_{i})^{2}}{n} \\
&= \dfrac{(4-1)^{2}+(4-2)^{2}+(4-4)^{2}+(4-6)^{2}+(4-7)^{2}}{4} \\
&= \dfrac{(3)^{2}+(2)^{2}+(0)^{2}+(-2)^{2}+(-3)^{2}}{4} \\
&= \dfrac{9+4+0+4+9}{4} \\
&= \dfrac{26}{4} \\
&= 6,5
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ 6,5$
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras- lembar jawaban evaluasi harian matematika,
- lembar jawaban evaluasi tamat semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊
Siswa kreatif ini bisa mengatakan kreativitas dan kemampuannya melalui PBB, mari kita lihat keterampilan kreatif mereka;
Belum ada Komentar untuk "✔ Bank Soal Dan Pembahasan Matematika Dasar Statistika Data Tunggal"
Posting Komentar