✔ Bank Soal Dan Pembahasan Matematika Dasar Barisan Dan Deret Aritmetika

Catatan calon guru yang kita diskusikan dikala ini akan membahas perihal Matematika Dasar Barisan dan Deret Aritmetika. Untuk melengkapi matematika dasar barisan dan deret arimetika, kita juga baiknya akan mempelajari matematika dasar barisan dan deret geometri dan matematika dasar barisan dan deret geometri tak hingga, dengan memahami ketiga topik ini maka dilema barisan dan deret akan semakin gampang kita pelajari.

Penerapan barisan dan deret aritmetika dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, diantaranya sanggup dilihat pada soal-soal yang akan kita diskusikan. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada barisan dan deret aritmetika sangatlah mudah, kalau Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan di bawah ini, maka anda akan dengan gampang memahami soal-soal barisan dan deret aritmetika dan menemukan solusinya.

Barisan dan deret salah satu materi matematika yang dipelajari pada Sekolah Menengan Atas dan SMP, bahkan dalam bentuk soal dongeng atau matematika realistik, soal perihal barisan dan deret sudah disisipkan pada materi matematika untuk tingkat SD.

Barisan dan Deret Bilangan

Barisan Bilangan yaitu urutan bilangan-bilangan yang disusun menurut pola tertentu.

Secara simbol sederhana barisan sanggup kita tuliskan;
$U_{1}, U_{2}, U_{3}, \cdots ,U_{n}$

$U_{1}$ kita sebut Bilangan Pertama/Suku Pertama,
$U_{2}$ kita sebut Bilangan Kedua/Suku Kedua,
$U_{3}$ kita sebut Bilangan ketiga/Suku Ketiga,
$ \cdots $
$U_{n}$ kita sebut Bilangan ke-n/Suku ke-n,
Penggunaan istilah Suku Pertama, Suku Kedua dan seterusnya lebih familiar dibanding istilah Bilangan Pertama, Bilangan Kedua, jadi untuk berikutnya kita pakai istilah Suku Pertama,$ \cdots $ Suku ke-n.

Deret Bilangan merupakan penjumlahan dari suku-suku barisan.

Secara simbol sederhana deret bilangan sanggup kita tuliskan;
$U_{1}+ U_{2}+ U_{3}+ \cdots +U_{n}$

$S_{1}$ kita sebut Jumlah satu suku pertama.
$S_{1}=U_{1}$
$S_{2}$ kita sebut Jumlah dua suku pertama.
$S_{2}=U_{1}+U_{2}$
$S_{3}$ kita sebut Jumlah tiga suku pertama.
$S_{3}=U_{1}+U_{2}+U_{3}$
$ \cdots $
$S_{n}$ kita sebut Jumlah $n$ suku pertama,
$S_{n}=U_{1}+U_{2}+U_{3}+ \cdots +U_{n}$

Barisan dan Deret Aritmetika

Setelah sanggup memahami perihal barisan dan deret bilangan, kini coba kita diskusikan perihal Barisan dan Deret Bilangan Aritmetika yang sering disebut hanya Barisan Aritmetika. Suatu barisan bilangan dikatakan sebagai Barisan Aritmetika (BA) kalau selisih antara suatu suku dan suku sebelumnya sama besar.

Selisih antara suatu suku dan suku sebelumnya dinamakan dengan $beda$ ($b$).
Contoh,
$2, 5, 8, 11, 14,...$ (Barisan Aritmetika dengan $b=3$)
$10, 6, 2, -2, -6,...$ (Barisan Aritmetika dengan $b=-4$)

Pada Barisan Aritmetika kalau suku pertama diberi simbol dengan $a$ dan beda dengan $b$ maka suku-suku Barisan Aritmetika secara umum sanggup kita tuliskan menjadi;
$a,\ (a+b),\ (a+2b),\ (a+3b),\cdots, a+(n-1)b$

Sedangkan kalau Barisan Aritmetika kita tuliskan menjadi Deret Aritmetika, penulisan menjadi;
$a+\ (a+b)+\ (a+2b)+\ (a+3b)+\cdots+ \left(a+(n-1)b\right)$

Dari bentuk umum diatas kita peroleh,

• beda=$b$
  $b=U_{2}-U_{1}=U_{7}-U_{6}$
  $b=U_{n}-U_{n-1}$
  $b=\dfrac{u_{6}-u_{3}}{6-3}=\dfrac{u_{m}-u_{n}}{m-n}$
• Suku ke-n
  $U_{n}=a+(n-1)b$
• Jumlah n suku pertama
  $S_{n}=\frac{n}{2}\left ( a+U_{n} \right )$
  $S_{n}=\frac{n}{2}\left [2a+\left ( n-1 \right )b \right ]$
• Suku Tengah berlaku untuk n bilangan ganjil
  $U_{t}=\frac{1}{2}\left ( a+U_{n} \right )$
  $S_{n}=n \cdot U_{t}$

Barisan Aritmetika Tingkat Dua

Barisan aritmetika tingkat $n$ yaitu barisan yang mempunyai $n$ pola dalam membentuk sebuah barisan dan pada pola ke-$n$ pola barisan menggunakan konsep aritmetika atau beda pada barisan yaitu sama. Barisan aritmetika tingkat dua berarti barisan mempunyai dua pola dan pada pola yang kedua beda barisan yaitu sama.

Sebagai teladan kita perhatikan barisan berikut:
Barisan aritmetika tingkat dua $6, 18, 36, 60, 90, 126, \cdots$

Barisan aritmetika tingkat tiga $1, 7, 25, 121, 211, 337, 505, \cdots$

Menggunakan faktorial $(*n!=n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 1)$ suku ke-$n$ barisan aritmetika tingkat dua yaitu $U_n=a+ \dfrac{(n-1)b}{1!} + \dfrac{(n-1)(n-2)c}{2!}$.

Jika kita lanjutkan suku ke-$n$ untuk barisan aritmetika tingkat ketiga yaitu $U_n=a+ \dfrac{(n-1)b}{1!}+ \dfrac{(n-1)(n-2)c}{2!}+\dfrac{(n-1)(n-2)(n-3)d}{3!}$

Barisan dan Deret Aritmetika untuk beberapa buku menggunakan istilah dengan sebutan Deret Hitung. untuk memahami Barisan Aritmetika dan Deret Aritmetika ini coba kita diskusikan beberapa teladan soal yang pernah diujikan pada Ujian Nasional dan SBMPTN atau ujian lain yang pernah diselenggarakan pada sekolah.

1. Soal UNBK Matematika IPA 2020 (*Soal Lengkap)

Diketahui suatu barisan aritmetika dengan $U_{2}=8$ dan $U_{6}=20$. Jumlah $6$ suku pertama barisan tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 150 \\
(B)\ & 75 \\
(C)\ & 50 \\
(D)\ & 28 \\
(E)\ & 25
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Berdasarkan informasi dari soal yaitu barisan aritmetika, maka kita butuh informasi berikut ini;
$U_{n}=a+(n-1)b$
$S_{n}=\frac{n}{2}\left(2a+(n-1)b \right)$

$U_{2}=8\ \rightarrow\ a+b=8$
$U_{6}=20\ \rightarrow\ a+5b=20$
$\begin{array}{c|c|cc}
a+b= 8 & \\
a+5b = 20 & (-) \\
\hline
-4b = -12 & \\
b = 3 & a= 5
\end{array} $

Untuk $b=3$ maka $a=5$, dan $S_{6}$ adalah
$\begin{align}
S_{6} & =\frac{6}{2} \left(2a+(6-1)b \right) \\
&=3 \left(2(5)+(5)(3) \right) \\
&=3 \left(10+15 \right) \\
&=3 \left(25 \right) \\
&=75
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ 75$

2. Soal SPMB 2007 (*Soal Lengkap)

Panjang sisi sebuah segitiga siku-siku membentuk barisan aritmetika. Jika keliling segitiga tersebut yaitu $72$, luasnya adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 216 \\
(B)\ & 363 \\
(C)\ & 364 \\
(D)\ & 383 \\
(E)\ & 432 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Keliling Segitiga = jumlah ketiga sisinya
$\begin{align}
K_\Delta &=a+(a+b)+(a+2b) \\
72 &=3a+3b \\
24 &=a+b \cdots pers(1)
\end{align}$
Karena segitiga yaitu segitiga siku-siku sehingga berlaku teorema phytagoras (kuadrat panjang sisi miring (hipotenusa) sama dengan jumlah kuadrat panjang dari dua sisi lainnya).

$\begin{align}
(a+2b)^{2} &=a^{2}+(a+b)^{2} \\
a^{2}+4ab+4b^{2} &=a^2+a^{2}+2ab+b^{2} \\
0 &=a^{2}-2ab-3b^{2} \\
0 &=(a-b)^{2}-4b^{2} \\
(a-b)^{2} &=4b^{2} \\
(a-b)^{2} &=(2b)^{2} \\
a-b &= 2b \\
a &=3b\ \text{substitusi ke pers(1)} \\
24 &=3b+b \\
4b &= 24 \\
b=6\ & \text{maka}\ a=18 \\
\end{align}$
Luas Segitiga
$L_\Delta=\frac{1}{2}\cdot a\cdot (a+b)$
$L_\Delta=\frac{1}{2}\cdot 18\cdot (24)$
$L_\Delta=216$

Sebagai alternatif penyelesaian, soal ini sanggup dikerjakan dengan cara menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku. Perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku alasannya yaitu membentuk Barisan Aritmetika sehingga berlaku $a:b:c=3x:4x:5x$.

$\begin{align}
K_\Delta &= 3x+4x+5x \\
72 &=12x \\
6 &=x
\end{align}$

$\begin{align}
L_\Delta &=\frac{1}{2}(4x)(3x) \\
&=6x^{2} \\
&=6(36)=216
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ 216$

3. Soal SBMPTN 2020 Kode 526 (*Soal Lengkap)

Empat bilangan membentuk suatu barisan aritmetika. Jika bilangan pertama dan bilangan kedua tetap, serta bilangan ketiga ditambah bilangan pertama dan bilangan keempat dikalikan 2, maka terbentuk suatu barisan geometri. Jika beda suku-suku pada barisan aritmetika yaitu 2, maka jumlah empat bilangan pertama pada barisan geometri tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\
(B)\ & 20 \\
(C)\ & 24 \\
(D)\ & 30 \\
(E)\ & 36 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk soal ini ada penggabungan materi antara barisan aritmetika dan barisan geometri, jadi sedikit materi dari barisan geometri harus kita ketahui;

Misalkan barisan aritmetika dengan $b=2$ yaitu $(a),\ (a+2),\ (a+4),\ (a+6)$.

Barisan Geometri yang terbentuk:
$(a),\ (a+2),\ (a+4)+(a),\ 2(a+6)$.
$(a),\ (a+2),\ (2a+4),\ (2a+12)$.
dengan menggunakan ciri khas dari $BG$, kita peroleh
$\begin{align}
u_{2}^{2} & =u_{1} \cdot u_{3} \\
(a+2)^{2} & = a \cdot (2a+4) \\
a^{2}+4a+4 & = 2a^{2}+4a \\
a^{2}-4 & =0 \\
(a-2)(a+2) & =0 \\
a=2\ & \text{atau}\ a=-2
\end{align}$

Untuk $a=-2$ barisan adalah: $-2,\ 0,\ 0,\ 8$ bukan $BG$.
Untuk $a=2$ barisan adalah: $2,\ 4,\ 8,\ 16$ merupakan $BG$ sehingga jumlahnya yaitu $30$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ 30$

4. Soal SBMPTN 2020 Kode 527 (*Soal Lengkap)

Diketahui suatu barisan geometri yang terdiri atas empat suku dengan rasio $\dfrac{1}{2}$ dan suatu barisan aritmetika yang terdiri atas tiga suku dengan beda $b$. Jumlah semua suku barisan geometri tersebut dan jumlah semua suku barisan aritmetika tersebut masing-masing bernilai $1$. Jika suku pertama barisan geometri tersebut sama dengan suku ketiga barisan aritmetika, maka nilai $b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{15} \\
(B)\ & \dfrac{2}{15} \\
(C)\ & \dfrac{1}{5} \\
(D)\ & \dfrac{1}{3} \\
(E)\ & \dfrac{8}{15}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk soal ini ada penggabungan materi antara barisan aritmetika dan barisan geometri, jadi sedikit materi dari barisan geometri harus kita ketahui;

Misalkan:$BG$ dengan $r=\dfrac{1}{2}$ yaitu $a,\ \dfrac{1}{2}a,\ \dfrac{1}{4}a,\ \dfrac{1}{8}a$.
$\begin{align}
a+ \dfrac{1}{2}a+ \dfrac{1}{4}a+ \dfrac{1}{8}a & = 1 \\
\dfrac{8}{8}a+ \dfrac{4}{8}a+ \dfrac{2}{8}a+ \dfrac{1}{8}a & = 1 \\
\dfrac{8+4+2+1}{8}a & = 1 \\
15a & = 8 \\
a & = \dfrac{8}{15}
\end{align}$

Misalkan $BA$ dengan $b=b$ yaitu $u_{1}-b,\ u_{1},\ u_{1}+b$.
$\begin{align}
u_{1}-b+ u_{1}+ u_{1}+b & = 1 \\
3u_{1} & = 1 \\
u_{1} & = \dfrac{1}{3}
\end{align}$

Karena $u_{1}$ $BG$ sama dengan $u_{3}$ $BA$, maka
$\begin{align}
u_{1}+b & = a \\
\dfrac{1}{3}+b & = \dfrac{8}{15} \\
b & = \dfrac{8}{15}-\dfrac{1}{3} \\
& = \dfrac{8}{15}-\dfrac{5}{15} \\
& = \dfrac{3}{15}=\dfrac{1}{5}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ \dfrac{1}{5}$

5. Soal SIMAK UI 2020 Kode 641 (*Soal Lengkap)

Sebelas buah bilangan membentuk deret aritmetika dan mempunyai jumlah $187$. Jika pada setiap $2$ suku yang berurutan pada deret tersebut disisipkan rat-rata dari $2$ suku yang berurutan tersebut, jumlah deret yang gres adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 289 \\
(B)\ & 323 \\
(C)\ & 357 \\
(D)\ & 399 \\
(E)\ & 418
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Misalkan Deret Aritmetika$(a)+(a+b)+(a+2b)+\cdots+(a+9b)+(a+10b)$ dengan $S_{11}=187$

$\begin{align}
S_{n} & = \dfrac{n}{2} \left(2a+(n-1)b \right) \\
S_{11} & = \dfrac{11}{2} \left(2a+(11-1)b \right) \\
187 & = \dfrac{11}{2} \left(2a+10b \right) \\
187 & = 11a+55b \\
17 & = a+5b
\end{align}$

Diantara dua suku disisipkan rata-rata kedua suku, sehingga deret yang gres adalah:
$(a)+\dfrac{1}{2}(2a+b)+(a+b)+\dfrac{1}{2}(2a+3b)+(a+2b)+\cdots+(a+9b)+\dfrac{1}{2}(2a+19b)+(a+10b)$

Banyak suku yang sanggup disisipkan yaitu $10$ suku baru, deret yang disisipkan adalah:
$ \dfrac{1}{2}(2a+b) +\dfrac{1}{2}(2a+3b)+\dfrac{1}{2}(2a+5b)+\cdots$$+\dfrac{1}{2}(2a+19b)$
$ =\dfrac{1}{2} \left( (2a+b) + (2a+3b)+ (2a+5b)+\cdots+ (2a+19b) \right)$
$ =\dfrac{1}{2} \left( 2a \times 10 +(b+3b+5b+\cdots+19b) \right)$
$ =\dfrac{1}{2} \left( 20a +100b \right)$
$ =\dfrac{1}{2} \cdot 20 \left( a +5b \right)$
$ =10 \left( 17 \right)$
$ =170$

Jumlah deret yang gres yaitu $170+187=357$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 357$

6. Soal UMB-PT 2014 Kode 672 (*Soal Lengkap)

Jika jumlah $n$ suku pertama dari suatu deret yaitu $S_{n}=(n-1)(n)(n+1)$, maka suku ke-10 deret tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 90 \\
(B)\ & 180 \\
(C)\ & 270 \\
(D)\ & 540 \\
(E)\ & 990
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Pada soal bahwa $S_{n}=(n-1)(n)(n+1)$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
S_{n} & = (n-1)(n)(n+1) \\
S_{1} & = 0 \\
S_{2} & = (1)(2)(3) =6 \\
S_{3} & = (2)(3)(4) =24 \\
S_{4} & = (3)(4)(5) =60 \\
S_{5} & = (4)(5)(6) =120 \\
\vdots
\end{align}$
Kita ketahui bahwa $U_{n}=S_{n}-S_{n-1}$, sehingga kita peroleh,
$\begin{align}
U_{1} & = 0 \\
U_{2} & = S_{2}-S_{1}=6-0=6 \\
U_{3} & = S_{3}-S_{2}=24-6=18 \\
U_{4} & = S_{4}-S_{3}=60-24=36 \\
U_{5} & = S_{5}-S_{4}=120-60=60 \\
\vdots
\end{align}$
Deret yang dihasilkan yaitu $0+6+18+36+60+\cdots$, ini yaitu deret aritmetika tingkat dua dimana $a=0$, $b=6$ dan $c=6$ sehingga:
$\begin{align}
U_n & = a+ \dfrac{(n-1)b}{1!} + \dfrac{(n-1)(n-2)c}{2!} \\
U_{10} & = 0+ \dfrac{(10-1)6}{1!} + \dfrac{(10-1)(10-2)6}{2!} \\
& = \dfrac{(9)6}{1} + \dfrac{(9)(8)6}{2} \\
& = 54 + 216 = 270
\end{align}$

Deret aritmetika tingkat dua umumnya mempunyai pola yang unik, untuk soal di atas polanya adalah
$\begin{align}
0 & = 1 \times 3 \times 0 \\
6 & = 2 \times 3 \times 1 \\
18 & = 3 \times 3 \times 2 \\
36 & = 4 \times 3 \times 3 \\
\vdots \\
U_{10} & = 10 \times 3 \times 9 \\
& = 270
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 270$

7. Soal UM UGM 2014 Kode 522 (*Soal Lengkap)

Dalam suatu barisan aritmetika, nilai rata-rata dari $4$ suku pertama yaitu $8$ dan nilai rata-rata $9$ suku pertama yaitu $3$. Jumlah $n$ suku pertama barisan tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -10n+n^{2} \\
(B)\ & 11n+n^{2} \\
(C)\ & 12n-n^{2} \\
(D)\ & -10n-n^{2} \\
(E)\ & 8n-n^{2}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Sebagai aksesori sedikit catatan perihal tentang rata-rata yaitu $\bar{x}=\dfrac{x_{1} + x_{2} + \cdots\ + x_{n}}{n}$.
$\begin{align}
\bar{x} &= \dfrac{x_{1} + x_{2} + \cdots\ + x_{n}}{n} \\
8 & = \dfrac{x_{1} + x_{2} + \cdots\ + x_{4}}{4} \\
32 & = x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{4} \\
32 & = a + a+b + a+2b + a+3b \\
32 & = 4a + 6b \\
16 & = 2a + 3b \\
\hline
3 & = \dfrac{x_{1} + x_{2} + \cdots\ + x_{9}}{9} \\
27 & = x_{1} + x_{2} + \cdots\ + x_{9} \\
27 & = x_{1} + x_{2} + x_{3}+ x_{4}+x_{5} + \cdots\ + x_{9} \\
27 & = 32 +x_{5} + \cdots\ + x_{9} \\
-5 & = x_{5} + \cdots\ + x_{9} \\
-5 & = a+4b+a+5b+a+6b+a+7b+a+8b \\
-5 & = 5a+30b \\
-1 & = a+6b
\end{align}$

$\begin{array}{c|c|cc}
a+6b= -1 & \\
2a+3b = 16 & \\
\hline
2a+12b= -2 & \\
2a+3b = 16 & (-) \\
\hline
9b=-18 & \\
b=-2 & a= 11
\end{array} $

$\begin{align}
S_{n} &= \dfrac{n}{2}\left(2a+(n-1)b \right) \\
&= \dfrac{n}{2} \left( 2(11)+(n-1)(-2) \right) \\
&= \dfrac{n}{2} \left( 22 -2n+2 \right) \\
&= \dfrac{n}{2} \left( 24 -2n \right) \\
&= 12n - n^{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 12n - n^{2}$

8. Soal UM UGM 2014 Kode 522 (*Soal Lengkap)

Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika, Jika jumlah suku ke-1 dan suku ke-3 yaitu $30$ dan jumlah dari logaritma suku ke-1, ke-2 dan ke-3 yaitu $3+{}^\!\log 3$, maka suku ke-1 barisan tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -5\ \text{atau}\ 5 \\
(B)\ & 5\ \text{atau}\ -10 \\
(C)\ & 5\ \text{atau}\ 25 \\
(D)\ & 10\ \text{atau}\ 20 \\
(E)\ & 25\ \text{atau}\ 15
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika, kita misalkan $(a-b), (a), (a+b)$, Sebagai aksesori sedikit catatan perihal tentang rata-rata yaitu $\bar{x}=\dfrac{x_{1} + x_{2} + \cdots\ + x_{n}}{n}$.
$\begin{align}
U_{1}+ U_{3} &= 30 \\
a-b+a+b &= 30 \\
2a &= 30 \\
a &= 15
\end{align}$
Untuk $a=15$ dan jumlah dari logaritma suku ke-1, ke-2 dan ke-3 yaitu $3+{}^\!\log 3$ maka kita peroleh:
$\begin{align}
{}^\!\log a+{}^\!\log (a+b)+{}^\!\log (a+2b) &= 3+{}^\!\log 3 \\
{}^\!\log (a-b)(a)(a+b) &= {}^\!\log 1000+{}^\!\log 3 \\
{}^\!\log (15-b)(15)(15+b) &= {}^\!\log 3000 \\
(15-b)(15)(15+b) &= 3000 \\
(15-b) (15+b) &= 200 \\
225-b^{2} &= 200 \\
b^{2} &= 225-200=25 \\
b &= \pm 5
\end{align} $

Untuk $b=5$ dan $a=15$ maka barisan yaitu $10,15,20$
Untuk $b=-5$ dan $a=15$ maka barisan yaitu $20,15,10$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ 10\ \text{atau}\ 20$

9. Soal SBMPTN 2014 Kode 677 (*Soal Lengkap)

Jika $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ yaitu barisan aritmetika dan $a_{1}, a_{2}, a_{1}+a_{3}$ yaitu barisan geometri, maka $\dfrac{a_{3}}{a_{1}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 6 \\
(B)\ & 4 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 1
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Dari barisan aritmetika $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ kita peroleh $2a_{2}=a_{1} + a_{3}$

Dari barisan geometri $a_{1}, a_{2}, a_{1}+a_{3}$ kita peroleh:
$\begin{align}
a_{2}^{2} &= a_{1} \left( a_{1}+a_{3} \right) \\
a_{2}^{2} &= a_{1} \left( 2a_{2} \right) \\
a_{2}^{2} &= 2a_{1} \cdot a_{2} \\
a_{2} &= 2 a_{1}
\end{align}$

Persamaan yang kita peroleh di atas kita substitusi ke persamaan $2a_{2}=a_{1} + a_{3}$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
2 \left( 2 a_{1} \right) &= a_{1} + a_{3} \\
4 a_{1} &= a_{1} + a_{3} \\
3 a_{1} &= a_{3} \\
\dfrac{a_{3}}{a_{1}} &= \dfrac{3a_{1}}{a_{1}} \\
&= 3
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 3$

10. Soal SBMPTN 2014 Kode 613 (*Soal Lengkap)

Jumlah suku ke-4 dan suku ke-5 dari suatu barisan arimetika yaitu $55$, sedangkan suku ke-9 dikurangi dua kali suku ke-2 bernilai $1$. Jumlah tiga suku pertama barisan tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 17 \\
(B)\ & 35 \\
(C)\ & 37 \\
(D)\ & 40 \\
(E)\ & 60
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Dari barisan aritmetika $a, a+b, a+2b,\cdots , a+(n-1)b$ kita peroleh:
$\begin{align}
U_{4}+U_{5} &= 55 \\
a+3b +a+4b &= 55 \\
2a+7b &= 55 \\
U_{9}-2U_{2} &= 1 \\
a+8b-2(a+b) &= 1 \\
a+8b-2 a-2b &= 1 \\
-a+6b &= 1
\end{align}$

Persamaan yang kita peroleh di atas coab kita eliminasi atau substitusi:
$\begin{array}{c|c|cc}
2a+7b = 55 & \\
-a+6b = 1 & \\
\hline
2a+7b = 55 & \\
-2a+12b = 2 (+) & \\
\hline
19b = 57 & \\
b = 3 & a= 17
\end{array} $

Jumlah tiga suku pertama
$\begin{align}
S_{3} &= 17+20+23 \\
&= 60
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ 60$

11. Soal SBMPTN 2014 Kode 613 (*Soal Lengkap)

Diketahui $x_{1}$ dan $x_{2}$ akar-akar real persamaan $x^{2}+3x+p=0$, dengan $x_{1}$ dan $x_{2}$ kedua-duanya tidak sama dengan nol. Jika $x_{1}+x_{2},\ x_{1}x_{2},$ dan $x_{1}^{2}x_{2}^{2}$ merupakan tiga suku pertama barisan aritmetika, maka $p=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 3
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk sanggup menuntaskan soal di atas coba kita ambil sedikit catatan perihal akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}+3x+p=0$, yaitu:

• $x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{3}{1}=-3$
• $x_{1} x_{2}= \dfrac{c}{a}= \dfrac{p}{1}=p$
• $ x_{1}^{2} x_{2}^{2}= \left( x_{1} x_{2} \right)^{2} = p^{2}$

Berdasarkan data di atas barisan aritmetika yaitu $-3,\ p,\ p^{2}$
$\begin{align}
2U_{2} &= U_{1}+ U_{3} \\
2p &= -3 +p^{2} \\
p^{2}-2p-3 &= 0 \\
(p-3)(p+1) &= 0 \\
p=3\ \text{atau}\ p=-1 & \\
\end{align}$

Untuk $p=3$ tidak memenuhi alasannya yaitu menjadikan $x^{2}+3x+p=0$ akar-akarnya tidak real, sehingga yang memenuhi yaitu untuk $p=-1$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ -1$

12. Soal SBMPTN 2014 Kode 651 (*Soal Lengkap)

Suku tengah suatu barisan aritmetika yaitu $ 23$. Jika suku terakhirnya $43$ dan suku ketiganya $13$, maka banyak suku barisan itu adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 5 \\
(B)\ & 7 \\
(C)\ & 9 \\
(D)\ & 11 \\
(E)\ & 5
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Diketahui suku tengah $23$ dan $U_{n}=43$ sehingga;
$\begin{align}
U_{t} &= \frac{1}{2}\left ( a+U_{n} \right ) \\
23 &= \frac{1}{2}\left ( a+43 \right ) \\
46 &= a+43 \\
a &= 3
\end{align}$

Karena $U_{3}=13=a+2b$ dan $a=3$ sehingga $3+2b=13$, $ b=5$
$\begin{align}
U_{n} &= a+(n-1)b \\
43 &= 3+(n-1)5 \\
43 &= 3+5n-5 \\
43 &= 5n-2 \\
45 &= 5n \\
9 &= n
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 9$

13. Soal SBMPTN 2014 Kode 663 (*Soal Lengkap)

Tujuh bilangan berjumlah $133$ membentuk barisan aritmetika. Di setiap dua suku berurutan di barisan tersebut disisipkan rata-rata kedua suku tersebut. Jumlah semua bilangan di barisan gres adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 200 \\
(B)\ & 240 \\
(C)\ & 247 \\
(D)\ & 250 \\
(E)\ & 251
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Dari deret aritmetika $a+a+b+a+2b+ \cdots+ a+6b=133$ sehingga $7a+21b=133$ atau $ a+3b=19$.

Di setiap dua suku berurutan di barisan tersebut disisipkan rata-rata kedua suku tersebut sehinga bilangan yang disisipkan itu ada $6$ bilangan yaitu $\dfrac{2a+b}{2}$, $\dfrac{2a+3b}{2}$, $\dfrac{2a+5b}{2}$, $\dfrac{2a+7b}{2}$, $\dfrac{2a+9b}{2}$, dan $\dfrac{2a+11b}{2}$.

Jumlah bilangan yang disisipkan yaitu
$\dfrac{2a+b}{2}+\dfrac{2a+3b}{2}+\dfrac{2a+5b}{2}+\dfrac{2a+7b}{2}+\dfrac{2a+9b}{2}+\dfrac{2a+11b}{2}$.
$=\dfrac{12a+36b}{2}$.
$=6a+18b $
$=6(a+3b) $
$=6(19)$
$=114$

Jumlah semua bilangan di barisan gres yaitu $133+114=247$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 247$

14. Soal SIMAK UI 2013 Kode 334 (*Soal Lengkap)

Jika diketahui bahwa $x=10-10\dfrac{1}{3}+10\dfrac{2}{3}-\cdots+40$, nilai $x$ yang memenuhi adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1150 \\
(B)\ & 1125 \\
(C)\ & 690 \\
(D)\ & 45 \\
(E)\ & 25
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Deret $10-10\dfrac{1}{3}+10\dfrac{2}{3}-\cdots+40$ kita coba manipulasi bentuknya menjadi:
$\begin{align}
& 10-10\dfrac{1}{3}+10\dfrac{2}{3}-\cdots+40 \\
& = \dfrac{1}{3} \left( 30-31+32-\cdots+120 \right) \\
& = \dfrac{1}{3} \left( 30 +32+34+\cdots+120 \right)-\dfrac{1}{3} \left( 31+33+35+\cdots+119 \right) \\
& = \dfrac{1}{3} \left( 30 +32+34+\cdots+120 \right)-\dfrac{1}{3} \left( 31+33+35+\cdots+119 \right) \\
& = \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{46}{2} (30+120) \right)-\dfrac{1}{3} \left( \dfrac{45}{2} (31+119) \right) \\
& = \dfrac{1}{3} \left( 46 \cdot 75 \right)-\dfrac{1}{3} \left( 45 \cdot 75 \right) \\
& = \dfrac{1}{3} \cdot 75 \left( 46 - 45 \right) \\
& = 25
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ 25$

15. Soal SIMAK UI 2013 Kode 333 (*Soal Lengkap)

Diketahui bilangan $a,\ b,\ c$ membentuk barisan geometri. Bilangan $a,\ b,\ c-2$ membentuk barisan aritmetika dan bilangan $a,\ b+2,\ c+10$ membentuk barisan geometri. Jumlah semua nilai yang mungkin untuk $b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{14}{9} \\
(B)\ & \dfrac{20}{9} \\
(C)\ & \dfrac{32}{9} \\
(D)\ & \dfrac{40}{9} \\
(E)\ & \dfrac{80}{9}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk soal ini ada penggabungan materi antara barisan aritmetika dan barisan geometri, jadi sedikit materi dari barisan geometri harus kita ketahui;

• Dari barisan geometri $a,\ b,\ c$ kita peroleh $b^{2}=ac\ \cdots \text{pers.(1)}$
• Dari barisan aritmetika $a,\ b,\ c-2$ kita peroleh $2b=a+c-2\ \cdots \text{pers.(2)}$
• Dari barisan geometri $a,\ b+2,\ c+10$ kita peroleh $(b+2)^{2}=a(c+10)\ \cdots \text{pers.(3)}$

Jika kita subsitusi $\text{pers.}(1)$ dan $(2)$ ke $\text{pers.}(3)$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
(b+2)^{2} & = a(c+10) \\
b^{2}+4b+4 & = a c+10a \\
ac+2(a+c-2)+4 & = a c+10a \\
2 a+2c-4+4 & = 10a \\
a+ c & = 5a \\
c & = 4a\ \cdots\ \text{pers.(4)} \\
2b & = a+ c-2 \\
2b & = a+ 4a-2 \\
2b+2 & = 5a \\
a & = \dfrac{2b+2}{5}\ \cdots \text{pers.(5)}
\end{align}$

$\text{pers.}(4)$ dan $(5)$ kita substitusikan ke $\text{pers.}(1)$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
b^{2} & = ac \\
b^{2} & = a \left( 4a \right) \\
b^{2} & = 4a^{2} \\
b^{2} & = 4\left( \dfrac{2b+2}{5} \right)^{2} \\
b^{2} & = 4\left( \dfrac{4b^{2}+8b+4}{25} \right) \\
25b^{2} & = 16b^{2}+32b+16 \\
9b^{2}-32b-16 & = 0
\end{align}$
Jumlah semua nilai $b$ yang mungkin yaitu $b_{1}+b_{2}=-\dfrac{-32}{9}=\dfrac{32}{9}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ \dfrac{32}{9}$

16. Soal SIMAK UI 2013 Kode 331 (*Soal Lengkap)

Diketahui bahwa $n$ yaitu bilangan asli. Misalkan $S(n)$ menyatakan jumlah setiap digit dari $n$ (secagai contoh: $n=1234$. $S(1234)=1+2+3+4=10$), maka nilai $S\left( S(n) \right)$ yang memenuhi persamaan $n+S(n)+S\left( S(n) \right)=2013$ adalah...
$\begin{align}
(1)\ & 2 \\
(2)\ & 5 \\
(3)\ & 8 \\
(4)\ & 20
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk soal ini rencana mau tidak diketik, alasannya yaitu tidak termasuk barisan aritmetika atau barisan geometri. Tetapi alasannya yaitu termasuk kategori soal HOTS kita tampilkan pada barisan aritmetika dan barisan geometri;

Dari persamaan $n+S(n)+S\left( S(n) \right)=2013$;

• $n \gt S(n) \gt S\left( S(n) \right)$, menurut ketidaksamaan ini biar mendapat hasil penjumlahan $2013$ maka $n$ yaitu bilangan $4$ angka dan kurang dari $2013$
• Jika $1000 \geq n \leq 1999$, maka $S(n)_{max}=S(1999)=1+9+9+9=28$ dan $S \left( S(n) \right)_{max}=S(28)=2+8=10$

$\begin{align}
n+S(n)+S\left( S(n) \right) & \leq n + 28 +10 \\
2013 & \leq n + 38 \\
2013-38 & \leq n \\
1975 & \leq n \\
1975 & \leq n \lt 2013
\end{align}$
Dari batasan nilai $n$ di atas kita coba lakukan uji nilai $n$;

UJI NILAI
$n$	$S(n)$	$S \left( S(n) \right)$	$n+S(n)+S\left( S(n) \right)$
$1975$	$1+9+7+5=22$	$2+2=4$	$1975+22+4=2001$
$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$
$1979$	$1+9+7+9=26$	$2+6=8$	$1979+26+8=2013$
$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$
$1985$	$1+9+8+5=23$	$2+3=5$	$1985+23+5=2013$
$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$
$1991$	$1+9+9+1=20$	$2+0=2$	$1991+20+2=2013$
$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$
$2003$	$2+0+0+3=5$	$5=5$	$2003+5+5=2013$
$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$

Nilai $S\left( S(n) \right)$ yang mungkin yaitu $2, 5,\ 8$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ (1)\ (2)\ (3)$

17. Soal SIMAK UI 2013 Kode 331 (*Soal Lengkap)

Diketahui bahwa $x,\ a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\ y$ dan $x,\ b_{1},\ b_{2},\ b_{3},\ b_{4},\ b_{5},\ y$ dengan $ x \neq y$ yaitu dua buah barisan aritmetika, maka $\dfrac{a_{3}-a_{2}}{b_{5}-b_{3}}=\cdots$
$\begin{align}
(1)\ & 2 \\
(2)\ & 5 \\
(3)\ & 8 \\
(4)\ & 20
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Dari barisan $x,\ a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\ y$;

• $u_{1}=x$ dan misal beda$=p$ maka $p=\dfrac{y-x}{4}$ dan $u_{n}=x+(n-1)p$
• $a_{2}=x+p$ dan $a_{3}=x+2p$

Dari barisan $x,\ b_{1},\ b_{2},\ b_{3},\ b_{4},\ b_{5},\ y$;

• $u_{1}=x$ dan misal beda$=q$ maka $q=\dfrac{y-x}{6}$ dan $u_{n}=x+(n-1)q$
• $b_{3}=x+2q$ dan $b_{5}=x+4q$

$\begin{align}
\dfrac{a_{3}-a_{2}}{b_{5}-b_{3}} &= \dfrac{\left(x+2p \right)-\left(x+p \right)}{\left(x+4q \right)-\left(x+2q \right)} \\
&= \dfrac{ x+2p - x-p }{ x+4q - x-2q } \\
&= \dfrac{ p }{ 2q } \\
&= \dfrac{ 1 }{ 2 } \cdot \dfrac{ \dfrac{y-x}{4} }{ \dfrac{y-x}{6} } \\
&= \dfrac{ 1 }{ 2 } \cdot \dfrac{ 6 }{ 4 } \\
&= \dfrac{ 6 }{ 8 } = \dfrac{ 3 }{ 4 }
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ \dfrac{ 3 }{ 4 }$

18. Soal SIMAK UI 2013 Kode 331 (*Soal Lengkap)

Jika diketahui bahwa $x= \dfrac{1}{2013}-\dfrac{2}{2013}+\dfrac{3}{2013}-\dfrac{4}{2013}+\cdots-\dfrac{2012}{2013}$, nilai $x$ yang memenuhi adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1007}{2013} \\
(B)\ & -\dfrac{1006}{2013} \\
(C)\ & \dfrac{1}{2013} \\
(D)\ & \dfrac{1006}{2013} \\
(E)\ & \dfrac{1007}{2013}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Deret $x$ kita coba manipulasi bentuknya menjadi:
$\begin{align}
& \dfrac{1}{2013}-\dfrac{2}{2013}+\dfrac{3}{2013}-\dfrac{4}{2013}+\cdots-\dfrac{2012}{2013} \\
& = \dfrac{1}{2013} \left( 1-2+3-4+\cdots+2011-2012 \right) \\
& = \dfrac{1}{2013} \left( (1-2)+(3-4)+\cdots+(2011-2012) \right) \\
& = \dfrac{1}{2013} \left( (-1)+(-1)+\cdots+(-1) \right) \\
& = \dfrac{1}{2013} \left( \dfrac{2012}{2} \times (-1) \right) \\
& = \dfrac{1}{2013} \left( -1006 \right) \\
& = -\dfrac{1006}{2013}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ -\dfrac{1006}{2013}$

19. Soal UMB-PT 2013 Kode 327 (*Soal Lengkap)

Jika jumlah $n$ suku pertama dari suatu deret yaitu $S_{n}=2n+3n^{2}$, maka jumlah suku ke-6 dan suku ke-11 dari barisan tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 60 \\
(B)\ & 80 \\
(C)\ & 100 \\
(D)\ & 130 \\
(E)\ & 170
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Pada soal bahwa $S_{n}=2n+3n^{2}$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
S_{n} & = 2n+3n^{2} \\
S_{1} & = 2(1)+3(1)^{2}=5 \\
S_{2} & = 2(2)+3(2)^{2}=16 \\
S_{3} & = 2(3)+3(3)^{2}=33 \\
S_{4} & = 2(4)+3(4)^{2}=56 \\
S_{5} & = 2(5)+3(5)^{2}=85 \\
\vdots
\end{align}$
Kita ketahui bahwa $U_{n}=S_{n}-S_{n-1}$, sehingga kita peroleh,
$\begin{align}
U_{1} & = 5 \\
U_{2} & = S_{2}-S_{1}=16-5=11 \\
U_{3} & = S_{3}-S_{2}=33-16=17 \\
U_{4} & = S_{4}-S_{3}=56-33=23 \\
U_{5} & = S_{5}-S_{4}=85-56=29 \\
\vdots
\end{align}$
barisan yang dihasilkan yaitu $5,\ 11,\ 17,\ 23,\ 29,\ \cdots$, ini yaitu barisan aritmetika dimana $a=5$, $b=6$ sehingga:
$\begin{align}
U_{6}+U_{11} & = a+5b+a+10b \\
& = 2a+15b \\
& = 2(5)+15(6) \\
& = 10+90=100
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 100$

20. Soal UMB-PT 2013 Kode 327 (*Soal Lengkap)

Jika $S_{n}$ yaitu jumlah $n$ suku pertama dari barisan aritmetika, maka $\lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{S_{3n}}{S_{n}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 60 \\
(B)\ & 80 \\
(C)\ & 100 \\
(D)\ & 130 \\
(E)\ & 170
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Dengan santunan sedikit dari teorema limit takhingga dimana $\lim\limits_{x \to \infty } \dfrac{1}{x}= 0$ dan Jumlah $n$ suku pertama pada barisan aritmetika yaitu $S_{n}=\dfrac{n}{2} \left(2a+(n-1)b \right)$, sehingga:
$\begin{align}
\lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{S_{3n}}{S_{n}} & = \lim\limits_{x \to \infty }\dfrac{\dfrac{3n}{2} \left(2a+(3n-1)b \right)}{\dfrac{n}{2} \left(2a+(n-1)b \right)} \\
& = \lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{3 \left(2a+ 3bn-b \right)}{ \left(2a+bn-b \right)} \\
& = \lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{ 6a+ 9bn-3b }{ 2a+bn-b } \times \dfrac{ \dfrac{1}{n} }{ \dfrac{1}{n}} \\
& = \lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{ \dfrac{6a}{n}+ \dfrac{9bn}{n}-\dfrac{3b}{n} }{ \dfrac{2a}{n}+\dfrac{bn}{n}-\dfrac{b}{n} } \\
& = \dfrac{ \lim\limits_{n \to \infty } \dfrac{6a}{n}+ \lim\limits_{n \to \infty } 9b- \lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{3b}{n} }{ \lim\limits_{n \to \infty } \dfrac{2a}{n}+\lim\limits_{n \to \infty } b- \lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{b}{n} } \\
& = \dfrac{ 0+ 9b-0}{0+b-0 } \\
& = \dfrac{ 9b }{ b }=9
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ 9$

21. Soal SNMPTN 2012 Kode 122 (*Soal Lengkap)

Tiga buah bilangan positif membentuk barisan aritmetika dengan beda $6$. Jika bilangan yang terbesar ditambah $12$, maka diperoleh barisan geometri. Jumlah tiga bilangan tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 26 \\
(B)\ & 27 \\
(C)\ & 28 \\
(D)\ & 29 \\
(E)\ & 30
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Tiga buah bilangan positif membentuk barisan aritmetika dengan beda $6$, Misal bilangan itu yaitu $a,\ a+6,\ a+12$ dan kalau $a+12+12$ barisan $a,\ a+6,\ a+12+12$ yaitu barisan geometri, sehingga berlaku:
$\begin{align}
(a+6)^{2} &= a(a+12+12) \\
a^{2}+12a+36 &= a^{2}+24a \\
12a+36-24a &= 0 \\
-12a &= -36 \\
a &= 3
\end{align}$
Jumlah bilangan adalah
$\begin{align}
a+a+6+a+12 &= 3a+18 \\
&= 3(2)+18 \\
&= 27
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ 27$

22. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

Nilai $26^{2}-25^{2}+24^{2}-23^{2}+\cdots+4^{2}-3^{2}+2^{2}-1=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 351 \\
(B)\ & 371 \\
(C)\ & 431 \\
(D)\ & 451 \\
(E)\ & 472
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Jika kita perhatikan kelompok bilangan yang ada di atas yaitu deret bilangan berpangkat dua, dengan mengelompokkan perhitungan dan menggunakan sifat pemfaktoran bilangan berpangakat yaitu $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$

• $26^{2}-25^{2}=(26+25)(26-25)=26+25$
• $24^{2}-23^{2}=(24+23)(24-23)=24+23$
• $22^{2}-21^{2}=(22+21)(22-21)=22+21$
$\vdots$
• $4^{2}-3^{2}=(4+3)(4-3)=4+3$
• $2^{2}-1^{2}=(2+1)(2-1)=2+1$

Dari bentuk di atas, soal kini sanggup kita tuliskan menjadi
$\begin{align}
&26+25+24+23+\cdots+4+3+2+1 \\
S_{n} &= \dfrac{n}{2} \left( 2a+(n-1)b \right) \\
S_{26} &= \dfrac{26}{2} \left( 2(26)+(26-1)(-1) \right) \\
&= 13 \left( 72-25 \right) \\
&= 13 \left( 27 \right) \\
&= 351
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 351$

23. Soal UNBK Matematika IPA 2020 (*Soal Lengkap)

Seorang peternak ayam petelur mencatat banyak telur yang dihasilkan selama $12$ hari. Setiap hari, banyaknya telur yang dihasilkan bertambah $4$ buah. Jika hari pertama telur yang dihasilkan berjumlah $20$ buah, jumlah seluruh telur selama $12$ hari adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 480 \\
(B)\ & 496 \\
(C)\ & 504 \\
(D)\ & 512 \\
(E)\ & 520
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Pertambahan telur setiap hari yaitu sama, ini sesuai dengan konsep deret aritmatika. Catatan calon guru perihal deret artimatika yang mungkin kita butuhkan yaitu suku ke-$n$ yaitu $U_{n}=a+(n-1)b$ dan jumlah $n$ suku pertama yaitu $S_{n}=\dfrac{n}{2} \left(2a+(n-1)b \right)$ atau $S_{n}=\dfrac{n}{2} \left(a+U_{n} \right)$.

Dengan suku pertama $a=20$ dan pertambahan $b=4$, maka deretnya yaitu $20+24+28+\cdots$ dan jumlah $12$ suku pertama adalah:
$\begin{align}
S_{n} & = \dfrac{n}{2} \left(2a+(n-1)b \right) \\
S_{12} & = \dfrac{12}{2} \left(2(20)+(12-1)(4) \right) \\
& = 6 \left(40+44 \right) \\
& = 6 \left(84 \right) =504
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 504$

24. Soal UNBK Matematika IPA 2020 (*Soal Lengkap)

Dalam rangka memperingati hari kemerdekaan Republik Indonesia, Desa X mengadakan lomba mengambil kelereng dari wadah dengan hukum sebagai berikut:

• Setiap tim terdiri dari $5$ orang dan setiap anggota kelompok harus mengambil kelereng sesuai urutannya
• Pada pengambilan putaran pertama ($5$ orang secara bergantian) hanya diperbolehkan mengambil masing-masing satu kelereng
• Pada putaran kedua, orang pertama setiap kelompok mengambil $2$ kelereng dan selalu bertambah $3$ kelereng untuk penerima pada urutan berikutnya dalam kelompok tersebut
• Pada putaran selanjutnya, setiap anggota tim mengambil $3$ kelereng lebih banyak dari anggota sebelumnya.

Tim A beranggotakan Andi, Beny, Cakra, Dani, dan Eko (Urutan pengambilan kelereng sesuai dengan urutan huruf awal nama). Bersamaan dengan habisnya waktu, ternyata Tim A berhasil mengumpulkan $265$ kelereng. Banyak kelereng yang berhasil diambil pada pengambilan terakhir oleh salah seorang anggota Tim A adalah...kelereng

Alternatif Pembahasan: show

• Pada pengambilan pertama, kelereng yang terambil yaitu $1+1+1+1+1= 5$
• Pada pengambilan kedua, kelereng yang terambil yaitu $2+5+8+11+14=40$

Sampai pada tahap ini kelereng yang terambil sudah $5+40=45$ dan total kelereng yang belum terambil yaitu $265-45=220$

Jumlah kelereng $220$ yaitu jumlah keseluruhan kelereng pada pengambilan ketiga oleh Tim A dimana beda banyak kelereng yang diambil oleh setiap penerima yaitu $3$ kelereng. Secara matematis sanggup kita tuliskan:
$\begin{align}
A+B+C+D+E &= 220 \\
A+(A+3)+(A+6)+(A+9)+(A+12) &= 220 \\
5A + 30 &= 220 \\
5A &= 220-30 \\
5A &= 190 \\
A &= \dfrac{190}{5} \\
A &=38 \\
\end{align}$
Banyak kelereng yang berhasil diambil Eko yaitu $A+12=38+12=50$

$\therefore$ Jawaban yang sesuai yaitu $50$

25. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2020

Misalkan $(u_{n})$ yaitu barisan aritmatika dengan suku pertama $a$ dan beda $2a$. Jika $u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4}+u_{5}=100$, maka $u_{2}+u_{4}+u_{6}+\cdots+u_{20}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 720 \\
(B)\ & 840 \\
(C)\ & 960 \\
(D)\ & 1080 \\
(E)\ & 1200
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru perihal deret artimatika yang mungkin kita butuhkan yaitu suku ke-$n$ yaitu $U_{n}=a+(n-1)b$ dan jumlah $n$ suku pertama yaitu $S_{n}=\dfrac{n}{2} \left(2a+(n-1)b \right)=\dfrac{n}{2} \left(a+U_{n} \right)$.

$\begin{align}
100 & = u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4}+u_{5} \\
& = a+a+b+a+2b+a+3b+a+4b \\
& = 5a +10b \\
& = 5a +10(2a) \\
100 &= 25a \\
a &= 4 \\
b &= 8
\end{align}$

$\begin{align}
&u_{2}+u_{4}+\cdots+u_{18}+u_{20} \\
& = (a+b)+(a+3b)+\cdots+(a+17b)+(a+19b) \\
& = 10a +b(1+3+5+\cdots+19) \\
& = 10a +b(100) \\
& = 10(4) +8(100) \\
&= 840
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 840$

27. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2020

Diketahui deret aritmatika:
$u_{1}+u_{3}+u_{5}+\cdots+u_{2n-1}=\dfrac{n(n+1)}{2}$, untuk setiap $n \geq 1$. Beda deret tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2} \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & \dfrac{3}{2} \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & \dfrac{5}{2}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru perihal barisan dan deret artimatika yang mungkin kita butuhkan adalah:

• Beda $b=u_{5}-u_{4}=\dfrac{u_{6}-u_{3}}{6-3}=\dfrac{u_{p}-u_{q}}{p-q}$
• Suku ke-$n$ yaitu $U_{n}=a+(n-1)b$
• Jumlah $n$ suku pertama yaitu $S_{n}=\dfrac{n}{2} \left(2a+(n-1)b \right)=\dfrac{n}{2} \left(a+U_{n} \right)$

Dari $u_{1}+u_{3}+u_{5}+\cdots+u_{2n-1} = \dfrac{n(n+1)}{2}$ kita peroleh:
$\begin{align}
u_{1} &=\dfrac{1(1+1)}{2}=1 \\
u_{1}+u_{3} &= \dfrac{2(2+1)}{2}=3 \\
u_{3} &=2 \\
u_{1}+u_{3}+u_{5} &= \dfrac{3(3+1)}{2}=6 \\
u_{5} &=3 \\
\hline
b &= \dfrac{u_{p}-u_{q}}{p-q} \\
&= \dfrac{u_{5}-u_{3}}{5-3} \\
&= \dfrac{3-2}{5-3}=\dfrac{1}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \dfrac{1}{2}$

28. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2020

Jika perbandingan suku pertama dan suku ketiga suatu barisan aritmetika yaitu $2:3$, maka perbandingan suku kedua dan suku keempat adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1:3 \\
(B)\ & 3:4 \\
(C)\ & 4:5 \\
(D)\ & 5:6 \\
(E)\ & 5:7
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru perihal barisan dan deret artimatika yang mungkin kita butuhkan adalah:

• Beda $b=u_{5}-u_{4}=\dfrac{u_{6}-u_{3}}{6-3}=\dfrac{u_{p}-u_{q}}{p-q}$
• Suku ke-$n$ yaitu $U_{n}=a+(n-1)b$
• Jumlah $n$ suku pertama yaitu $S_{n}=\dfrac{n}{2} \left(2a+(n-1)b \right)=\dfrac{n}{2} \left(a+U_{n} \right)$

$\begin{align}
\dfrac{u_{1}}{u_{3}} &= \dfrac{2}{3} \\
\dfrac{a}{a+2b} &= \dfrac{2}{3} \\
3a &= 2a+4b \\
a &= 4b \\
\hline
\dfrac{u_{2}}{u_{4}} &= \dfrac{a+b}{a+3b} \\
&= \dfrac{4b+b}{4b+3b} \\
&= \dfrac{5b}{7b}=\dfrac{5 }{7 }
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 5:7$

29. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2020

Diketahui deret aritmatika dengan suku pertama $a$ dan beda $b$. Jika $b=2a$ dan $u_{1}+u_{3}+u_{5}+u_{7 }+u_{9}=90$, maka nilai dari $u_{8}+u_{10}+u_{12}+u_{14}+u_{16}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 210 \\
(B)\ & 220 \\
(C)\ & 230 \\
(D)\ & 240 \\
(E)\ & 250
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru perihal barisan dan deret artimatika yang mungkin kita butuhkan adalah:

• Beda $b=u_{5}-u_{4}=\dfrac{u_{6}-u_{3}}{6-3}=\dfrac{u_{p}-u_{q}}{p-q}$
• Suku ke-$n$ yaitu $U_{n}=a+(n-1)b$
• Jumlah $n$ suku pertama yaitu $S_{n}=\dfrac{n}{2} \left(2a+(n-1)b \right)=\dfrac{n}{2} \left(a+U_{n} \right)$

$\begin{align}
90 & = u_{1}+u_{3}+u_{5}+u_{7 }+u_{9} \\
& = a+a+2b+a+4b+a+6b+a+8b \\
& = 5a +20b \\
& = 5a +20(2a) \\
90 &= 45a \\
a &= 2 \\
b &= 4
\end{align}$

$\begin{align}
& u_{8}+u_{10}+u_{12}+u_{14}+u_{16} \\
& = (a+7b)+(a+9b)+(a+11b)+(a+13b)+(a+15b) \\
& = 5a + b(7+9+11+13+15) \\
& = 5(2) + 4(55) \\
& = 10 + 220 \\
&= 230
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 230$

30. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2020

Jika diketahui suku barisan aritmatika bersifat $x_{k+2}=x_{k}+p$ dengan $p \neq 0$ untuk sembarang bilangan orisinil postif $k$, maka $x_{3}+x_{5}+x_{7}+\cdots+x_{2n+1}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{pn^{2}+2nx_{2}}{2} \\
(B)\ & \dfrac{2pn^{2}+2nx_{2}}{2} \\
(C)\ & \dfrac{pn^{2}+2x_{2}}{2} \\
(D)\ & \dfrac{pn^{2}+ nx_{2}}{2} \\
(E)\ & \dfrac{pn^{2}+2pnx_{2}}{2}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru perihal barisan dan deret artimatika yang mungkin kita butuhkan adalah:

• Beda $b=u_{5}-u_{4}=\dfrac{u_{6}-u_{3}}{6-3}=\dfrac{u_{p}-u_{q}}{p-q}$
• Suku ke-$n$ yaitu $U_{n}=a+(n-1)b$
• Jumlah $n$ suku pertama yaitu $S_{n}=\dfrac{n}{2} \left(2a+(n-1)b \right)=\dfrac{n}{2} \left(a+U_{n} \right)$

Dari deret aritmatika $x_{3}+x_{5}+x_{7}+\cdots+x_{2n+1}$
Deret aritmatika secara umum yaitu
$S_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4}+u_{5}+u_{6}+u_{7}+\cdots$
$S_{n}=(a)+(a+b)+(a+2b)+(a+3b)+(a+4b)+(a+5b)+(a+6b)+\cdots$
Deret di atas sku pertama yaitu $a$ dan beda $b$.

Jika kita pisah menjadi dua bab suku-suku genap dan susku ganjil menjadi
$S_{genap}=u_{2}+ u_{4}+ u_{6}+ u_{8}+\cdots$
$S_{genap}= (a+b)+ (a+3b)+ (a+5b)+ \cdots$
Deret di atas sanggup kita anggap deret aritmatika dengan suku pertama yaitu $a+b$ dan beda $2b$

$S_{ganjil}=u_{1}+ u_{3}+ u_{5}+ u_{7}+\cdots$
$S_{ganjil}=(a)+ (a+2b)+ (a+4b)+ (a+6b)+\cdots$
Deret di atas sanggup kita anggap deret aritmatika dengan suku pertama yaitu $a$ dan beda $2b$

Jika kita terapkan pada soal, yang diminta yaitu jumlah suku-suku ganjil dimana suku pertama yaitu $x_{3}$ dan beda $2b$
$\begin{align}
x_{k+2} & = x_{k}+p \\
x_{k+2}-x_{k} & = p \\
x_{k+2}-x_{k} & = 2b \\
\hline
p & = 2b \\
\hline
\end{align}$

$\begin{align}
S_{n} & = x_{3}+x_{5}+x_{7}+\cdots+x_{2n+1} \\
S_{n} & = \dfrac{n}{2} \left(2a+(n-1)b \right) \\
& = \dfrac{n}{2} \left(2x_{3}+(n-1)p \right) \\
& = \dfrac{n}{2} \left(2 \left(x_{2}+b \right)+(n-1)p \right) \\
& = \dfrac{n}{2} \left(2 x_{2}+2b +pn-p \right) \\
& = \dfrac{n}{2} \left(2 x_{2}+p +pn-p \right) \\
& = \dfrac{n}{2} \left(2 x_{2} +pn \right) \\
& = \dfrac{2nx_{2}+pn^{2}}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \dfrac{2nx_{2}+pn^{2}}{2}$

31. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2020

Diketahui barisan aritmatika dengan $U_{k}$ menyatakan suku ke $k$. Jika $U_{k+2}=U_{2}+kU_{16}-2$, maka nilai $U_{6}+U_{12}+U_{18}+U_{24}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{2}{k} \\
(B)\ & \dfrac{3}{k} \\
(C)\ & \dfrac{4}{k} \\
(D)\ & \dfrac{6}{k} \\
(E)\ & \dfrac{8}{k} \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru perihal barisan dan deret artimatika yang mungkin kita butuhkan adalah:

• Beda $b=u_{5}-u_{4}=\dfrac{u_{6}-u_{3}}{6-3}=\dfrac{u_{p}-u_{q}}{p-q}$
• Suku ke-$n$ yaitu $U_{n}=a+(n-1)b$

Karena $U_{k}$ menyatakan suku ke $k$ pada deret aritmatika sehingga berlaku:
$\begin{align}
x_{k} & = a+(k-1)b \\
x_{k+2} & = a+(k+2-1)b \\
U_{2}+kU_{16}-2 & = a+(k+1)b \\
a+b+k(a+15b)-2 & = a+bk+b \\
ak+15bk -2 & = bk \\
ak+15bk - bk & = 2 \\
ak+14bk & = 2 \\
k \left(a +14b \right) & = 2 \\
a +14b \right & = \dfrac{2}{k} \\
\hline
U_{6}+U_{12}+U_{18}+U_{24} & = a+5b+a+11b+a+17b+a+23b \\
& = 4a+56b \\
& = 4 \left( a+14b \right) \\
& = 4 \left( \dfrac{2}{k} \right) =\dfrac{8}{k}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{8}{k}$

32. Soal UNBK Matematika Sekolah Menengan Atas IPS 2020 (*Soal Lengkap)

Suku ke-4 suatu barisan aritmetika yaitu $33$, sedangkan suku ke-7 yaitu 54. Suku ke-15 barisan tersebut adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & 162 \\
(B)\ & 118 \\
(C)\ & 110 \\
(D)\ & 92 \\
(E)\ & 70
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Kita ketahui bahwa suku ke-$n$ barisan aritmatika yaitu $U_{n}=a+(n-1)b$.
Pada soal diberitahu bahwa pada barisan aritmatika suku ke-4 yaitu $33$ sehingga berlaku $U_{4}=a+(4-1)b$ atau $33=a+3b$.
Suku ke-7 yaitu $54$ sehingga berlaku $U_{7}=a+(7-1)b$ atau $54=a+6b$.

Dari kedua persamaan di atas sanggup kita tentukan nilai $a$ dan $b$;
$\begin{array}{c|c|cc}
a+3b=33 & \\
a+6b=54 & (-) \\
\hline
-3b=-21 \\
b=7 \\
\hline
a+3(7)=33 \\
a =33-21=12
\end{array} $
Suku ke-15 yaitu $U_{15}=12+(15-1)7=110$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 110$

33. Soal UNBK Matematika Sekolah Menengan Atas IPS 2020 (*Soal Lengkap)

Suku kelima suatu barisan aritmetika yaitu $28$ dan suku kesepuluhnya yaitu $53$. Jumlah $18$ suku pertama barisan aritmetika tersebut adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & 816 \\
(B)\ & 819 \\
(C)\ & 826 \\
(D)\ & 909 \\
(E)\ & 919
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Kita ketahui bahwa suku ke-$n$ barisan aritmatika yaitu $U_{n}=a+(n-1)b$.
Pada soal diberitahu bahwa pada barisan aritmatika suku ke-5 yaitu $28$ sehingga berlaku $U_{5}=a+(5-1)b$ atau $28=a+4b$.
Suku ke-10 yaitu $53$ sehingga berlaku $U_{10}=a+(10-1)b$ atau $53=a+9b$.

Dari kedua persamaan di atas sanggup kita tentukan nilai $a$ dan $b$;
$\begin{array}{c|c|cc}
a+4b=28 & \\
a+9b=53 & (-) \\
\hline
-5b=-25 \\
b=5 \\
\hline
a+4(5)=28 \\
a =28-20=8
\end{array} $
Jumlah $n$ suku pertama barisan aritmetika yaitu $S_{n}=\dfrac{n}{2} \left( 2a+(n-1)b \right)$.

Jumlah $18$ suku pertama barisan aritmetika tersebut adalah
$\begin{align}
S_{n}= &\dfrac{n}{2} \left( 2a+(n-1)b \right) \\
S_{18}= & \dfrac{18}{2} \left( 2(8)+(18-1)(5) \right) \\
= & 9 \left( 16 +(17)(5) \right) \\
= & 9 \left( 16 + 85 \right) \\
= & 9 \left( 101 \right) \\
= & 909
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ 909$

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras

Beberapa pembahasan dilema Matematika Dasar Barisan dan Deret Aritmetika (*Soal Dari Berbagai Sumber) (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas yaitu coretan kreatif siswa pada

• lembar tanggapan evaluasi harian matematika,
• lembar tanggapan evaluasi selesai semester matematika,
• presentasi hasil diskusi matematika atau
• pembahasan quiz matematika di kelas.

Jadi saran, kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait dilema alternatif penyelesaian soal barisan dan deret aritmatika sangat diharapkan😊😊

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Pernah dengar bilangan prima terbesar atau sudah pernah membayangkan berapa bilangan prima terbesar?, mari kita lihat bagaimana bilangan prima terbesar;

Bagikan Artikel ini